王2、多元函数概念 定义设D是平面上的一个点集,如果对于每 王个点P(x,y∈D,变量按照定的法则总有确 定的值和它对应,则称是变量x,y的二元函数, 记为z=∫(x,y)(或记为z=∫(P)) 类似地可定义三元及三元以上函数 庄当≥2时,n元函数统称为多元函数 上页
设D是平面上的一个点集，如果对于每 个点P( x. y) D，变量z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数， 记为z = f ( x, y)（或记为z = f (P)）. 2、多元函数概念 定义 当n 2时，n 元函数统称为多元函数. 类似地可定义三元及三元以上函数．
3、多元函数的极限 定义设函数z=f(x,y)的定义域为D,P(x0,y) 生是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在 正数δ 使得对于适合不等式 0<PPn=x-x)2+(y-y)2<δ的一切 点,都有f(x,y)-AE成立,则称为函数 工工工 z=f(x,y)当x→x,y→xy0时的极限, 记为Iimf(x,y)=A x→x 0 y→>yo 或∫(x,y)→A(P→0)这里p=PP0|) 王页下
定 义 设函数z = f ( x, y)的定义域为D, ( , ) 0 0 0 P x y 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 = − + − 2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) ( y y ) 的一切 点，都有| f ( x, y) − A | 成立，则称A 为函数 z = f ( x, y)当x → x0， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f ( x, y) → A ( → 0)这里 | | = PP0 ）. 3、多元函数的极限
说明: c(1)定义中P→P的方式是任意的; 王(2)二元函数的极限也叫二重极限lmn(xy) 丰《3)三元函数的极限运算法则与一元函数类似 4、极限的运算 牛设P→P时,fP)→A,f(P)→E则 (1)∫(P)±g(P)→A±B;(2).∫(P)·g(P)→A.B; (3).f(P)g(P)→AB(B≠0) 上页
说明： （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 4、极限的运算 (3). ( ) ( ) ( 0). (1). ( ) ( ) ; (2). ( ) ( ) ; ( ) , ( ) , 0 → → → → → → f P g P A B B f P g P A B f P g P A B 设 P P 时，f P A f P B 则
5、多元函数的连续性 定义设n元函数f(P)的定义域为点集D,P是 其聚点且P∈D,如果imf(P)=∫(P0)则称 王元函数八(P在点P处连续 工工工 设P是函数f(P)的定义域的聚点,如果 ∫(P)在点P处不连续,则称是函数f(P)的 间断点 上页
5、多元函数的连续性 定 义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 0 D, P 是 其聚点且P0 D，如果 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 则称n 元函数 f (P)在点P0 处连续. 设P0 是函数 f (P)的定义域的聚点，如果 f (P)在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P)的 间断点
6、多元连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上 A至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 工工工 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在 D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介 中于这两值之间的任何值至少一次 上页
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 6、多元连续函数的性质