晋中学院：《高等数学》课程教学案例汇编

流回心脏.医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P（单位：mmHg）的25t2+123数学模型P=2t>0表示血液从心脏流出的时间（t的单位：秒）.问t2 +1在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是单调减少的解：P-(25° +123)2+1 (25′° +123)(° +1)(25/° +123)( +1)_ 50r( +1)-21(25* +123) 1961<0(r +1)2(t+1)(2 +1)2因为t>0，所以p=-196l<0，故在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少的。(t2 +1)2第5节函数的极值与最值案例1【容器的设计]要设计一个容积为500ml的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？解：设其底面半径为r，高为h，其表面积为S=2元rh+2元r2；容积为V=500=元rh500代入S=2元h+2元r2，得表面积S=1000+2元r2，即h=5元2rS'=_ 1000求导+4元r2(500)3解S=0，得唯一驻点r=因为此问题的最小值一定存在，故此驻点即为2元(500）2000）3r1最小值点，将r=代入V=500=元r2h，得h即h-2（2元）2元／故当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少案例2【采矿爆破】露天采矿、采石或取土经常采用炸药包进行爆破，经过长期实践发现爆破部分呈圆锥漏斗形状，圆锥母线长是R，它是固定的。问炸药包埋入多深时能使爆破体积最大？解：设深度为h体积 V=元(R--h)h (0<h<R)求导V'.元(R2-3h2)3318

18 流回心脏．医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压 P （单位：mmHg）的 数学模型 2 2 25 123 , 0 1 t P t t     表示血液从心脏流出的时间（t 的单位：秒）．问 在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是单调减少的 解: 2 2 25 123 1 t P t            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (25 123) ( 1) (25 123)( 1) 50 ( 1) 2 (25 123) ( 1) ( 1) t t t t t t t t t t               2 2 196 0 ( 1) t t     . 因为t  0，所以 2 2 196 0 ( 1) t P t      ，故在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少的． 第5节 函数的极值与最值 案例 1 [容器的设计] 要设计一个容积为 500ml 的圆柱形容器，其底面半径与高 之比为多少时容器所耗材料最少？ 解: 设其底面半径为r ，高为h ， 其表面积为 2 S  2rh  2r ； 容积为 2 V  500  r h 即 2 500 h  r  ，代入 2 S  2rh  2r ，得表面积 1000 2 S 2 r r    ， 求导 2 1000 S 4 r r      解 S  0，得唯一驻点 1 500 3 2 r         ，因为此问题的最小值一定存在，故此驻点即为 最小值点，将 1 500 3 2 r         代入 2 V  500  r h ,得 1 2000 3 2 h         ，即 1 2 r h  ， 故当底面半径与高之比为 1：2 时，所用材料最少． 案例 2 [采矿爆破]露天采矿、采石或取土经常采用炸药包进行爆破，经过长期 实践发现爆破部分呈圆锥漏斗形状，圆锥母线长是 R, 它是固定的。问炸药包埋 入多深时能使爆破体积最大? 解：设深度为h 体积 1 2 2 ( ) (0 ) 3 V   R  h h  h  R 求导 1 2 2 ( 3 ) 3 V   R  h

V3令V'=0得h=土R舍去负值3V3D)-2/3又V"=-2元h，v"(3-R)=元R<03深度h=R时，爆破体积最大。3案例3[税收问题］某企业的总收益函数和总成本函数分别为R=40g-2g,C=q+4q+3，企业要追求最大利润，政府要对产品征税，求：(1)政府征税的最大收益及此时的税率r(2)企业税前和税后的最大利润和此时的平均价格。解：（1)企业在税率为r的情况下利润函数L=R-C-qr q>0利润L最大L=0，即40-4g-2g-4-r=0dq: g(r)=6-"6根据实际问题，此时9就是纳税后企业获得最大利润的生产水平。所以，此时T=rg(r)=6r-二的征税收益函数：6T要最大，=0，即6-=0,=r=18dr3当r=18时，税收T最大且最大值T(18)=54，此时的生产水平q(18)=3。(2)纳税前的总利润L=R-C=-3g2+36q-3，可求得生产水平g=6时可获得最大利润L=105此时价格p=R=28q将税后的产出q=3和r=18，代入利润函数L=-3g°+(36-r)q-3得最大利润L=24，此时的价格P=R=34q由此可见在确保企业和征税收益最大化的前提下，因征税，产出水平由6下降到3：价格由28上涨到34；而最大利润由105下降到24。案例4[规划问题为了确定每天工作时间增加对劳动价值增加的影响。每天工作x小时，产生劳动产品的价值经过测算为y元。其关系是y=300+30x一x2。19

19 令V   0 得 3 3 h   R 舍去负值 又V  2h, 3 2 3 ( ) 0 3 3 V R    R  深度 3 3 h  R 时，爆破体积最大。 案 例 3[ 税 收 问 题 ] 某 企 业 的 总 收 益 函 数 和 总 成 本 函 数 分 别 为 2 2 R  40q  2q ,C  q  4q  3，企业要追求最大利润，政府要对产品征税，求： (1)政府征税的最大收益及此时的税率r ; (2)企业税前和税后的最大利润和此时的平均价格。 解：(1)企业在税率为r 的情况下利润函数 L  R C  qr q  0 利润L 最大 0 dL dq  ,即40  4q  2q  4  r  0 ( ) 6 6 r  q r   根据实际问题，此时q 就是纳税后企业获得最大利润的生 产水平。所以，此时 的征税收益函数： 2 ( ) 6 6 r T  rq r  r  T 要最大， 0 dT dr  , 即 6 0, 18 3 r    r  当r 18时，税收T 最大且最大值T(18)  54，此时的生产水平q(18)  3。 (2)纳税前的总利润 2 L  R C  3q  36q  3, 可求得生产水平q  6 时可获得最大利润L 105, 此时价格 28 R P q   将税后的产出q  3和r 18 ，代入利润函数 2 L  3q （36  r)q  3 得最大利润L  24, 此时的价格 34 R P q   由此可见在确保企业和征税收益最大化的前提下，因征税，产出水平由 6 下降到 3;价格由 28 上涨到 34;而最大利润由 105 下降到 24。 案例 4[规划问题]为了确定每天工作时间增加对劳动价值增加的影响。每天工作 x小时，产生劳动产品的价值经过测算为 y 元。其关系是 2 y  300  30x  x

求劳动价值对工作时间的边际收益。假设正常上班8小时，求出8小时以外最合适的加班时间长度。解：因为y=300+30x-x2xe[0,24]所以J'=30x-2x，J"=-2所以y是单调递减函数，即工作时间每增加1小时，生产的劳动价值的增加量越来越少。边际收益呈现递减规律。当xe[0,15],J'>0，说明每增加1小时工作时间，劳动价值的确能增加，但是增加的幅度逐渐减小。当xe[15,24],y<0,工作时间超过15小时以后，每增加1小时工作时间，劳动价值增加量是负数，劳动价值在减少，通常是由于效率低下，生产的产品质量不达标，浪费了原材料，使总的价值减少。所以工人应该有适当的工作时间，加班虽然会产生更多经济效益，但是不要无限加班，加班时间太长，效率反而低下，有损总的经济效益。多数企业每日工作8小时，按照本题函数的结论，8小时后还可以加班7小时，一共工作15小时，就不能再加班了。如果超过15小时，即使工人迫于无奈加班，效益反而减少。注：本题还可以衍伸为，x是经济成本投入量，是经济产出量。通常x投入越多，y产出越多，但是y可能是递减的，x每增加一个单位量，y相应增加的量的y.假如y'<0.就不能再增加投入了，此时有y的增加量已经是负数，代表减产。案例5【停产时间】油井投资10百万元建成。在时刻t的成本与收益分别是C(1),R(t)，追加成本与增加收益分别是C(1),R(1),C(l)=2+,R(1)=10-声单位：百万元/年。该油井开始利润很大，后来会逐渐减小，试确定该油井何时停产能获得最大利润，最大利润是多少？解：利润L(t)=R(t)-C(t)极值的必要条件是L(t)=R(t)-C(t)=0即R'(t)=C'(t)2+高=10-高，得 1=8极大值点充分条件是L"(t)=R"(t)-C"(t)<0,4.3检验后的确L"(8)=R(8)-C"(8)=-t3/g<03故最佳停产时间是8年，8年后继续生产会亏本。成本大于收益，利润为负。到第8年为止总的利润是20

20 求劳动价值对工作时间的边际收益。假设正常上班 8 小时，求出 8 小时以外最合 适的加班时间长度。 解：因为 2 y  300  30x  x x[0,24] 所以 y  30x  2x, y  2 所以 y 是单调递减函数，即工作时间每增加 1 小时，生产 的劳动价值的增加量 越来越少。边际收益呈现递减规律。 当 x[0,15], y  0，说明每增加 1 小时工作时间，劳动价值的确能增加，但是增 加的幅度逐渐减小。当x[15,24], y  0,工作时间超过 15 小时以后，每增加 1 小 时工作时间， 劳动价值增加量是负数，劳动价值在减少，通常是由于效率低下， 生产的产品质量不达标，浪费了原材料，使总的价值减少。 所以工人应该有适当的工作时间，加班虽然会产生更多经济效益，但是不要无限 加班，加班时间太长，效率反而低下，有损总的经济效益。多数企业每日工作 8 小时，按照本题函数的结论，8 小时后还可以加班 7 小时，一共工作 15 小时， 就不能再加班了。如果超过 15 小时，即使工人迫于无奈加班，效益反而减少。 注：本题还可以衍伸为， x 是经济成本投入量， y 是经济 产出量。通常 x 投入 越多， y 产出越多，但是 y 可能是递减的， x 每增加一个单位量， y 相应增加 的量的 y .假如 y  0.就不能再增加投入了，此时有 y 的增加量已经是负数， 代表减产。 案例 5 [停产时间]油井投资 10 百万元建成。在时刻 t 的成本与收益分别是 C(t), R(t), 追加成本与增加收益分别是 2 2 3 3 C(t), R(t), C(t)  2  t , R(t) 10  t 单位： 百万元/年。该油井开始利润很大，后来会逐渐减小，试确定该油井何时停产能 获得最大利润，最大利润是多少? 解：利润 L(t)  R(t) C(t) 极值的必要条件是 L(t)  R(t) C(t)  0 即 R(t)  C(t) 2 2 3 3 2  t 10  t , 得 t  8 极大值点充分条件是L(t)  R(t) C(t)  0 , 检验后的确 1 3 8 4 (8) (8) (8) 0 3 L R C t t           故最佳停产时间是 8 年，8 年后继续生产会亏本。成本大于收益，利润为负。 到第 8 年为止总的利润是

L=[L'(t)dt-10=[R(t)-C(t)]dt-10=15.6总利润15.6百万元。案例6【讲授时间]通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受一个概念的能力依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。刚开始的时候，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出F(x) = -0.1x2 +2.6x +43其中，F(x）是接受能力的一种度量，X是提出概念所用的时间（单位：分钟）(1）x为何值时，学生学习能力增强或降低？(2)第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？(3)最难的概念应该在何时讲授?(4)一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授么？解：(1)令F(x)=-0.2x+2.6，则x=13。当x<13时，F(x)>0,F(x)单调上升；当x>13时，F(x)<0,F(x)单调下降。所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低。(2）x=10<13，F(x)单调上升，学生的兴趣在增长。(3）F(x)在x=13时取得极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。(4)因为F(13)=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。案例7［最大容积］设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值。解：设切去的小正方形的边长为X分米，则盒子的容积为5、V=(8-2x)(5-2x)x (0<x<2°求导V= -2(5-2x)x -2(8-2x)+ x(8-2x)(5-2x)= 4(x-1)(3x-10)10（x>，应舍去)，则符合题意的驻点只有x=1.由令V'=0,得驻点x=1,x2=(x72)21

21 8 8 0 0 L  L(t)dt 10  [R(t) C(t)]dt 10 15.6   总利润 15.6 百万元。 案例 6 [讲授时间]通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受一个概 念 的能力依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的 时间。刚开始的时候， 学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明， 学生掌握概念的能力由下式给出 2 F(x)  0.1x  2.6x  43 其中，F(x)是接受能力的一种度量， x是提出概念所用的时间(单位：分钟) (1) x为何值时，学生学习能力增强或降低? (2)第 10 分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降? (3)最难的概念应该在何时讲授? (4)一个概念需要 55 的接受能力，它适于对这组学生讲授么? 解：(1)令F(x)  0.2x  2.6， 则x 13。 当x 13时，F(x)  0, F(x)单调上升；当x 13时，F(x)  0, F(x) 单调下降。所以当提出概念所用的时间小于 13 分钟时，接受能力增强；当提出 概念所用的时间大于 13 分钟时，接受能力降低。 (2) x 10 13 ,F(x)单调上升，学生的兴趣在增长。 (3) F(x)在x 13时取得极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第 13 分钟 时讲授。 (4)因为F(13)  59.9 ,这个概念需要 55 的接受能力，小于最大接受能力，所以可 以对这组学生讲授该概念。 案例 7 [最大容积] 设有一个长 8 分米和宽 5 分米的矩形铁片，在四个角上切去 大小相同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁 片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值． 解: 设切去的小正方形的边长为 x 分米，则盒子的容积为 5 (8 2 )(5 2 ) (0 ) 2 V   x  x x  x  ， 求导 V  2(5 2x)x  2(8 2x)  x(8 2x)(5 2x)  4(x 1)(3x 10) 令V  0，得驻点 1 2 10 1, 3 x  x  ( 2 5 2 x  ，应舍去)，则符合题意的驻点只有 x  1．由

)内取得，而V"=0在(0,号)于开口盒子容积的最大值一定存在，而且在0，P2只有一个根x=1，故此点为所求的最大值点所以切去的小正方形的边长为1分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是18立方分米.案例8［油管铺设路线的设计】要铺设一石油管道，将石油从炼炼油厂厂输送到石油罐装点，如右图所示.炼油厂附近有条宽2.5kmK10.0km的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处.如果在水中铺管道的费用为6万元/km，在河边铺设管道的费用为4万元/km罐装点试在河边找一点P，使管道铺设费最低解：设P点距炼油厂的距离为x，管道铺设费为y，由题意有y=4x+6/(10-x)+2.5(x>0),[(10 - x2)+2.526(10 - x)y'= (4x)-6.42 /(10 -x)+2.52(10 -x2)+2.5210令y=0，得驻点x=10±-舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费一定/20存在，且在(0,10)内取得，所以最小值点为x=7.764km，最低的管道铺设费为y51.18万元案例9[拉船靠岸]如图所示。NI在离水平高度为hm的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为lm，船位于离岸壁Sm处，试问：当收绳速度为Vom/s时，船的速度，加速度各为多少？解：l,s,h三者构成直角三角形，有1？=s2+h2，两边同时对1求导，得dl.dsdt-"dt22

22 于开口盒子容积的最大值一定存在，而且在 5 0, 2       内取得，而V  0在 5 0, 2       内 只有一个根 x  1，故此点为所求的最大值点． 所以切去的小正方形的边长为 1 分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是 18 立方分米． 案例 8 [油管铺设路线的设计] 要铺设一石油管道，将石油从炼油 厂输送到石油罐装点，如右图所示．炼油厂附近有条宽 2.5km 的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游 10km 处．如果在水中铺设 管道的费用为 6 万元/km，在河边铺设管道的费用为 4 万元/km． 试在河边找一点 P ，使管道铺设费最低． 解: 设 P 点距炼油厂的距离为 x ，管道铺设费为 y ，由题意有 2 2 y  4x  6 (10  x )  2.5 (x  0) ， 2 2 2 2 2 2 (10 ) 2.5 6(10 ) (4 ) 6 4 2 (10 ) 2.5 (10 ) 2.5 x x y x x x                    令 y  0 ，得驻点 10 10 20 x   ，舍去大于 10 的驻点，由于管道最低铺设费一定 存在，且在0,10 内取得，所以最小值点为 x  7.764 km，最低的管道铺设费为 y  51.18 万元． 案例 9 [拉船靠岸]如图所示。 在离水平高度为hm 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为l m,船位于离岸 壁 s m 处，试问：当收绳速度为 0 v m/s 时，船的速度，加速度各为多少? 解：l,s,h 三者构成直角三角形，有 2 2 2 l  s  h , 两边同时对t 求导，得 dl ds l s dt dt 