晋中学院：《高等数学》课程教学案例汇编

dlds船速V按速度定义，收绳速度V。dtdtVh'+s?1代入后得V=VoNosshav?从而加速度a=v（t)=s3案例10【通道的设计1某人着一根长为L的长杆要从一通道中行进（如下图）。他从I通道进口出发，再从Ⅱ通道的出口离开。现如何确定一个Ⅱ通道的最佳宽度尺寸使其顺利通过，而不去对I通道做任何改变。Dd1通道出口LCOcda1FB进口1通道解：设II通道的宽度为d，I通道的宽度为固定值d。，并且记ZDAB=ZDOC=α，记○为杆的支撑点。AB由上图知：d=OD.sinα,OD=AD-OA=L-,AB=d。cosα因此问题转化为求α使d的值达到最小。求导: d,=(L-_)sinaα= Lsinα-d tanα,cosα.α= arc cos sd。为d的驻点，又因为这是一个实际问题，因而得到cosα=V LV L时，d取得最小值。ao=arccosL比如I通道的宽度是2m，元，此时杆长为16m时，α=3n号-tan ~10.392(m)d=16sin33即II通道的宽度至少要10.392m才能让杆顺利通过。案例11[轨道的设计】列车在从直道进入弯道时，为什么常会产生摇晃震动?怎样去减少这种摇晃？解：列车在拐弯时将受到向心力的作用，如果向心力的变化不连续，则将产生摇晃。由力学知识可知，轨道上一点处的向心力大小为mv2，其中m是物体的质R23

23 按速度定义，收绳速度 0 dl v dt  , 船速 ds v dt  代入后得 2 2 0 0 l h s v v v s s    ， 从而加速度 2 2 0 3 ( ) h v a v t s     。 案例 10 [通道的设计]某人扛着一根长为 L 的长杆要从一通道中行进（如下图）。 他从 I 通道进口出发，再从Ⅱ通道的出口离开。现如何确定一个Ⅱ通道的最佳宽 度尺寸使其顺利通过，而不去对 I 通道做任何改变。 解：设Ⅱ通道的宽度为d ,I 通道的宽度为固定值 0 d , 并且记 DAB  DOC  , 记 O为杆的支撑点。 由上图知： 0 sin , = , cos AB d OD  OD AD OA L AB d        因此问题转化为求  使 d 的值达到最小。 求导： 0 0 ( )sin sin tan cos d d L L d           , 得 到 0 cos 3 d L   , 0 cos 3 d arc L   为d 的驻点，又因为这是一个实际问题，因而 0 3 0 cos d arc L   时，d 取得最小值。 比如 I 通道的宽度是 2m, 杆长为 16m 时， 0 3    , 此 时 16sin tan 10.392( ) 3 3 d m      即Ⅱ通道的宽度至少要 10.392 m 才能让杆顺利通过。 案例 11 [轨道的设计]列车在从直道进入弯道时，为什么常会产生摇晃震动?怎样去 减少这种摇晃? 解：列车在拐弯时将受到向心力的作用，如果向心力的变化不连续，则将产生摇 晃。由力学知识可知，轨道上一点处的向心力大小为 2 mv R , 其中m 是物体的质

量，V是运动速度，R是轨道在该点处的曲率半径。如果让列车由直道直接进入圆弧形轨道，如下图所示DAB尽管轨道是光滑连接的，但是由于直线的曲率半径为无穷大，因而在轨道的连接点B处，向心力的大小将发生跳跃，这就会导致摇晃震动。为了减小摇晃，必须让轨道的曲率半径R连续变化。容易求得立方抛物线y=axa>0)在任一点处的曲率半径R=1+9a'x)6a|x当x≠0时，R随x连续变化，且当X→0时，R→+00。因此如果我们在修筑铁路时，先在直道末端接上一段立方抛物线BC，再在立方抛物线上选取适当的点C处与圆弧形轨道CD相接，使此立方抛物线在C处的曲率半径近似于圆弧CD的半径，这样在从直轨AB转入弯轨BCD时，曲率半径R将接近连续变化，从而减小列车的摇晃震动。案例12【奇妙的蜂房]蜜蜂营造的蜂房具有非常奇妙的结构，它的每一个蜂巢是一个正六棱柱，入口是一个正六边形ABCDEF，柱底是由三个大小相等的菱形围成的一个三面角，如下图所示。OPC长期以来，人们对于蜂房的精巧结构有着非常大的兴趣。设正六边形的边长为24

24 量，v是运动速度，R 是轨道在该点处的曲率半径。如果让列车由直道直接进入 圆弧形轨道，如下图所示 尽管轨道是光滑连接的，但是由于直线的曲率半径为无穷大，因而在轨道的连接 点 B 处，向心力的大小将发生跳跃，这就会导致摇晃震动。为了减小摇晃，必 须让轨道的曲率半径 R 连续变化。容易求得立方抛物线 3 y  ax (a  0)在任一点处 的曲率半径 3 2 4 2 (1 9 ) 6 a x R a x   当 x≠0 时，R随 x连续变化，且当 x→0 时，R  。 因此如果我们在修筑铁路时，先在直道末端接上一段立方抛物线BC , 再在立方 抛物线上选取适当的点C处与圆弧形轨道CD相接，使此立方抛物线在C 处的曲 率半径近似于圆弧CD的半径，这样在从直轨 AB转入弯轨BCD时，曲率半径R将 接近连续变化，从而减小列车的摇晃震动。 案例 12 [奇妙的蜂房]蜜蜂营造的蜂房具有非常奇妙的结构，它的每一个蜂巢是 一个正六棱柱，入口是一个正六边形 ABCDEF,柱底是由三个大小相等的菱形围成 的一个三面角，如下图所示。 长期以来，人们对于蜂房的精巧结构有着非常大的兴趣。 设正六边形的边长为

a,CC'=h,LA'BC'=2e，下面先建立蜂巢的表面积s与O的函数关系。设菱形A'BC'O的面积为S，梯形AABB的面积为S,，则蜂巢的表面积为S=3S,+6S，由于A'C'=AC=V3a，从而不难求得，J3cot'0-1,3.号acoto,=ah9S =42+9d.oot故S=6ah+22下面求S的最小值。令x=cotO，则9a'x3a2x--1 (+o)S =6ah+22令ds9a9x_9d2x2- 14dx22/3x2-123x2-1/3x2-1+x)得唯一驻点x=一，进一步可得当x=一时，S最小，此时V22~55°9=arccotV2由此可知，当~55°时，蜂巢的表面积最小。实际测量的0=109°28，结果表明，蜂巢的角与上述计算所得的e。~55°非常接近，误差不超过1°。结论：在蜂巢容积一定的条件下，当9~55°时，蜂巢的表面积最小，即蜜蜂营造蜂巢所用的材料（蜂蜡）最省，这个结果与人们对蜂巢的实际观测是一致的，它告诉我们，蜜蜂将蜂房造成如此巧妙的结构，是为了节省材料，也使我们不得不感叹，小小蜜蜂真是一个“能工巧匠”！案例13［版面设计要求设计一张单栏的竖向的海报，它的印刷面积128cm2，上下空白各2cm，两边空白各1cm，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？解：设印刷面积由从上到下长xcm和从左到右ycm构成，则xy=128，于是四周空白面积为S=2x+4y+4×2=2x+4x1288+8,0<x<+00x两边同时对x求导，得S'=2_512x2令S=0得x=16，此时y=8，又S"_1024>0,0<x<+0x3所以当海报印刷部分为从上到下长16cm，从左到右宽8cm时，可使四周空白面积为最小。案例14【最大利润]某资产管理公司以4%的年利率获得贷款，而后又将此贷款贷25

25 a, CC  h, ABC  2 ,下面先建立蜂巢的表面积S 与 的函数关系。 设菱形 ABCO的面积为 1 S , 梯形 AABB的面积为 2 S ,则蜂巢的表面积为 1 2 S  3S  6S , 由于 AC  AC  3a , 从而不难求得, 2 2 2 1 2 3 cot , 3cot 1 2 4 a S  a  S  ah    ， 故 2 2 9 co 2 t 3 6 3cot 1, (0, ) 2 2 3 a a S ah        下面求 S 的最小值。令 x  cot ,则 2 2 9 3 2 1 6 3 1, ( , ) 2 2 3 a x a S  ah   x  x  令 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 2 1 0 2 2 3 1 2 3 1( 3 1 ) dS a a x a x dx x x x x          得唯一驻点 1 2 x  ,进一步可得当 1 2 x  时，S 最小，此时 1 cot 55 2   arc   由此可知，当 0   55时，蜂巢的表面积最小。实际测量的 10928，结果表明， 蜂巢的 角与上述计算所得的 0   55 非常接近，误差不超过1。结论：在蜂巢 容积一定的条件下，当 0   55时，蜂巢的 表面积最小，即蜜蜂营造蜂巢所用的 材料(蜂蜡)最省，这个 结果与人们对蜂巢的实际观测是一致的，它告诉我们， 蜜蜂将 蜂房造成如此巧妙的结构，是为了节省材料，也使我们不得不 感叹，小 小蜜蜂真是一个“能工巧匠”! 案例 13 [版面设计]要求设计一张单栏的竖向的海报，它的印刷面积 128cm², 上 下空白各 2cm, 两边空白各 1cm, 如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小? 解：设印刷面积由从上到下长 x cm 和从左到右 y cm 构成，则 xy 128 , 于是 四周空白面积为 4 128 S 2x 4y 4 2 2x 8, 0 x x            两边同时对 x求导，得 2 512 S 2 x    令 S  0 得 x 16, 此时 y  8 , 又 3 1024 S 0, 0 x x       所以当海报印刷部分为从上到下长 16cm,从左到右宽 8cm 时，可使四周空白面积 为最小。 案例 14 [最大利润]某资产管理公司以 4%的年利率获得贷款，而后又将此贷款贷

出去，以获取收益。假设能贷出的金额与贷出的利率的平方成反比（利率过高无人借贷），问该公司贷出贷款的年利率为多少时资产管理公司所获利润最？解：设贷出贷款的年利率为r，则贷出贷款的金额为k（k>0）rk_k_0.04k资产管理公司所获利润L=(r-0.04)今rr由业=0得+0.08k=0，解得r=0.08drrr3因“业-(0.08-r)dr">0, >0.08,8.dL<0所以0<r<0.08drdrr=0.08是极大值，也是最大值点，即年贷款利率为r=8%时获利最大。案例15【商品定价]设某商场以每双100元的价格购进一批皮鞋，假设此种商品的需求函数0=400-2P（其中0为需求量，P为销售价格，单位：元。问定价为多少时，才能获得最大利润?并求最大利润。解：设总利润、总收入、总成本分别为L,R,C所以L=L(P)=R(P)-C(P)而R=PQ=P(400-2P)=400P-2P2，C=100=40000-200P利润L=R-C=-2P?+600P-40000令L'=-4P+600得P=150又L"=-4<0故P=150元时，利润L最大。最大利润L(150)=5000元即：将每双皮鞋定价为150元销售时，可获得最大利润5000元。案例16[公寓定价]富翁手里持有100套公寓要出租，当租金为每月700元，公寓会全部租出去。当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花100元整修维护费，试问房租定位多少，可获得最大收入。解：设房租为x元，其中x=700，800，900是100的整数倍。则租出去的公寓套数为100-X-700100R(x)=(x-100)(100-X-700)每月总收入为1)=(x-100)(107-100100用乘法求导公式得1X+108R(t)=(107-)+(x-100)(-10010050解得唯一驻点x=5400。26

26 出去，以获取收益。假设能贷出的金额与贷出的利率的平方成反比(利率过高无 人借贷),问该公司贷出贷款的年利率为多少时资产管理公司所获利润最大? 解：设贷出贷款的年利率为r , 则贷出贷款的金额为 2 ( 0) k k r  资产管理公司所获利润 2 2 0.04 ( 0.04) k k k L r r r r     由 0 dL dr  得 2 3 0.08 0 k k r r    , 解 得r  0.08 因 3 (0.08 ) dL k r dr r   所以 0 0.08, 0, 0.08, 0 dL dL r r dr dr      r  0.08是极大值，也是最大值点，即年贷款利率为r  8%时获利最大。 案例 15 [商品定价]设某商场以每双 100 元的价格购进一批皮鞋，假设此种 商品的需求函数Q  400  2P (其中Q为需求量，P为销售价格，单位：元)。问 定价为多少时，才能获得最大利润?并求最大利润。 解：设总利润、总收入、总成本分别为L,R,C 所以L  L(P)  R(P) C(P) 而 2 R  PQ  P(400  2P)  400P  2P ，C 100Q  40000200P 利润 2 L  R C  2P  600P  40000 令L  4P  600 得 P 150 又L  4  0 故P 150元时，利润 L 最大。最大利润L(150)  5000元 即：将每双皮鞋定价为 150 元销售时，可获得最大利润 5000 元。 案例 16[公寓定价]富翁手里持有 100 套公寓要出租，当租金为每月 700 元， 公 寓会全部租出去。当租金每月增加 100 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去 的房子每月需花 100 元整修维护费，试问房租定位多少，可获得最大收入。 解：设房租为 x元，其中 x =700,800,900 . 是 100 的整数倍。 则租出去的公寓套数为 700 100 100 x   每月总收入为 700 ( ) ( 100)(100 ) ( 100)(107 ) 100 100 x x R x x x        用乘法求导公式得 1 ( ) (107 ) ( 100)( ) 108 100 100 50 x x R x    x      解得唯一驻点 x =5400

故每月每套租金5400元，能获得最大收入，最大收入为280900元。若令X=5300或5500，收入是280800元。可见炒房者手里房子很多的时候，可以把租金或房价炒到奇高。注：引申1，若设富翁手里的公寓不是100套，而是α套。则房租为x元时，租出去的公寓套数为。-x-700100每月总收入为R(x)=(x-100)(a-700)=(x-100)a+7-盖)100100R()=(a+7-)+(x-100)-)=-+a+810010050解得唯一驻点x=50(a+8)。富翁的房子套数α越多，越敢提高房租X。所以炒房者手里房子越多，或者炒房的人越多，房价涨得越高，远远超出老百姓承受能力，祸国殃民。引申2：100套都租出去，若提高房租100元，损失一套房租700元，但是可以多获得租出去的那99套多交的房租9900元，所以富翁敢恣意涨价。请读者举一反三，若房租每增加100元，就有20套房子租不出去，客人退房，试算算富翁还敢不敢轻易提高房租。如果大家都不去买房与租房，手里有大量房子的炒房者将会怎样？案例17［资源的持续利用1鱼群是一种可再生资源，为保护鱼类资源不至于枯竭，每年只能适当的进行捕捞。经实验和统计，已知鱼群的再生产曲线f(x)=rx(1-是)(其中x为当年鱼群的总重量，f(x)为第二年鱼群的再生产总重量，Nr为鱼群的自然增长率且r>1,N是自然环境下所能负荷的最大鱼群数量）。设某水库最多可养鱼10万千克，若鱼量超过10万千克，由于缺少氧气和食物，鱼群会大范围死亡。根据经验鱼群年自然增长率为4，求每年合理的捕捞量。解：设每年的捕捞量为h(x)，则第二年捕捞后的鱼群总量为f(x)-h(x)为了保证鱼群总量为某一水平值x，即x=f(x)-h(x)所以 h(x)=f(x)-x=rx(1-))-xrx即()=(r-1)x-*又：r=4,N=10万千克:h(x)=3x-0.4x227

27 故每月每套租金 5400 元，能获得最大收入，最大收入为 280900 元。 若令 x =5300 或 5500,收入是 280800 元。可见炒房者手里房子很多的时候，可以 把租金或房价炒到奇高。 注：引申 1,若设富翁手里的公寓不是 100 套，而是a 套。 则房租为 x元时，租出去的公寓套数为 700 100 x a   ， 每月总收入为 700 ( ) ( 100)( ) ( 100)( 7 ) 100 100 x x R x x a x a         1 ( ) ( 7 ) ( 100)( ) 8 100 100 50 x x R x  a    x      a  解得唯一驻点x  50(a  8)。 富翁的房子套数a 越多，越敢提高房租 x 。所以炒房者手里房子越多，或者炒 房的人越多，房价涨得越高，远远超出老百姓承受能力，祸国殃民。 引申 2: 100 套都租出去，若提高房租 100 元，损失一套房租 700 元，但是可以 多获得租出去的那 99 套多交的房租 9900 元，所以富翁敢恣意涨价。请读者举 一反三，若房租每增加 100 元，就有 20 套房子租不出去，客人退房，试算算富 翁还敢不敢轻易提高房租。如果大家都不去买房与租房，手里有大量房子的炒房 者将会怎样? 案例 17 [资源的持续利用]鱼群是一种可再生资源，为保护鱼类资源不至于枯竭， 每 年 只 能 适 当 的 进 行 捕 捞 。 经 实 验 和 统 计 ， 已 知 鱼 群 的 再 生 产 曲 线 ( ) (1 ) x f x rx N   (其中 x为当年鱼群的总重量，f (x)为第二年鱼群的再生产总重量， r 为鱼群的自然增长率且 r 1, N是自然环境下所能负荷的最大鱼群数量)。设某 水库最多可养鱼 10 万千克，若鱼量超过 10 万千克，由于缺少氧气和食物， 鱼 群会大范围死亡。根据经验鱼群年自然增长率为 4,求每年合理的捕捞量。 解：设每年的捕捞量为h(x) , 则第二年捕捞后的鱼群总量为 f (x)  h(x) 为了保证鱼群总量为某一水平值 x , 即 x  f (x)  h(x) 所以 ( ) ( ) (1 ) x h x f x x rx x N      即 2 ( ) ( 1) r h x r x x N    又∵ r  4, N 10万千克 ∴ 2 h(x)  3x  0.4x