第一章概率论的基本概念 3 又“A,B,C中不多于一个发生”表示“A,B,C中至少有两个 不发生”,亦即AB,BC,AC中至少有一个发生,因此又有 D6 AB U BC U CA 又“A,B,C中不多于一个发生”是事件G=“A,B,C中至 少有二个发生”的对立事件,而事件G可写成G= AB U BC U CA,因此又可将D;写成 D6= ABU BC U CA=AB∩BC∩CA (7)“A,B,C中不多于二个发生”表示A,B,C都不发生或 A,B,C中恰有一个发生或A,B,C中恰有二个发生,因此,D7= ABC∪ ABC U ABC U ABC∪ ABC U ABC U ABC.又“A,B, C中不多于二个发生”表示A,B,C中至少有一个不发生,亦即 A,B,C中至少有一个发生,即有D,= AUBUC 又“A,B,C中不多于二个发生”是事件“A,B,C三个都发 生”的对立事件,因此又有D,=ABC (8)Ds= ABU BC∪CA,也可写成Ds= ABC U ABC∪ ABC U ABC 注意:(i)两事件的差可用对立事件来表示,例如A-B= AB,A-BC=ABC.(i)易犯的错误是,误将AB与AB等同起 来,事实上,AB=A∪B≠AB,又如ABC=A∪BUC≠ ABC.(i)误以为S=A∪B∪C,事实上,S-AUB∪C可 能不等于必,一般 SDAUBUC 3.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问:(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值最大值是多少?(2)在什么条 件下P(AB)取到最小值,最小值是多少? 解由加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AU B)=1.3- P(AUB). (1)因A∪B→B,故若P(A∪B)=P(B)=0.7,则 P(AB)取到最大值,最大值为0.6
4 概率论与数理统计习题全解指南 (2)因A∪BCS,故若P(AUB)=P(S)=1,则P(AB) 取到最小值,最小值为0.3 4.设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4 P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8.求A,B,C至少有一个发 生的概率 解P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) P(BC)-P(AC)+P(ABC) =5/8+P(ABC). 由 ABC C AB,且已知P(AB)=0,得 0≤P(ABC)≤P(AB)=0, 故P(ABC)=0,因此所求概率为P(A∪BUC)=5/8 注:不要误以为:P(AB)=0,就有AB=x,事实上,当 P(AB)=0时,AB不一定为必 以下以E表示随机试验,以N(S)表示样本空间S中基本事 件的总数,以N(A)表示事件A中包含的基本事件数.古典概率 的计算公式是:P(A)=N(A)/N(S) 5.在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成 的单词,若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成 上述单词的概率 解E:从26个字母中任取2个进行排列可知共有A26种结 果,即N(S)=A25.以A表示事件:“所取2个字母排列成标准英 语字典中由两个不同字母组成的一个单词”,则有 P(A)=N(s)A228311 N(A)_55 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任 选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率.(2)求最 大号码为5的概率 解E:在房间里任选3人,记录其佩戴的纪念章的号码.10
第一章概率论的基本概念 人中任选3人共有 120种选法,此即为样本点的总数.以A 记事件“最小的号码为5”,以B记事件“最大的号码为5 (1)因选到的最小号码为5,则其中一个号码为5且其余两个 号码都大于5,它们可从6~10这5个数中选取,故N(A)=(), 2 从而 P(A)=N(A)/N(S)= 1/12. 2 3 (2)同理,N(B) 故 2 4)/10 P(B)= N(B/N(S) l/20 2//(3 7.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红 漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾 客问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订 颜色如数得到订货的概率是多少? 解E:在17桶油漆中任取9桶给顾客以A表示事件“顾客 取到4桶白漆,3桶黑漆与2桶红漆”则有N(S)1),N(A) 9 101/41(3 4八3八2 故 P(A)= N(A)/N(S) 101/41/3\//17 252/2431 4)13/(2 8.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200 个.(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率 解E:从1500个产品中任取200个产品以A表示事件“恰 有90个次品",以B,表示事件“恰有i个次品",=0,1,以C表示 事件“至少有2个次品
概率论与数理统计习题全解指南 1500 (1)N(S)= 200 400 1100 400\/1100 N(A) 90)200-90 110 故P(A)=N(A)/N(S) 400/11001//1500 90110 (2)C=S-B0-B1,其中B0,B1互不相容,所以 P(C Bo--B1)=P(S-[BoU B13) I-P(B0B1)=1-P(B0)-P(B1) 因 (B0)= 1100 200/N(B1) 400}/1100 故 1100 1500 P(B0)= P(B1) 400)/1100}//1500 200 200 因此有 P(C)=1 11001//15001(400}/1100}/1500 200 200 1100 400}/1100 1500 200 1 199 200 9.从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两 只配成一双的概率是多少? 解E:从5双不同的鞋子中任取4只以A表示事件“所取 4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”,则A表示事件“所取4只 鞋子无配对的”先计算P(A)较为简便.以下按N(A)的不同求 法,列出本题的3种解法,另外还给出一种直接求P(A)的解法 解法()考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的.自5双 (10只)鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法,N(S) 10×9×8×7.现在来求N(A).第一只可以任意取,共有10种
第一章概率论的基本概念 取法,第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的 8只鞋子中任取一只,共8种取法.同理第三只、第四只各有6种、4 种取法,从而N(A)=10X8×6×4.故 P(A)=1-P(A)=1-N(A)/N(S 1-10×8×6×4_13 10×9×8× 解法(i)从10只鞋子中任取4只,共有。】种取法,即 10 N(S)= 为求N(A),先从5双鞋子中任取4双共有 种 4 取法,再自取出的每双鞋子中各取1只(在一双中取一只共有2种 取法),共有24种取法,即N(A) 5 4 5 P(A)=1-P(A)=1 解法(i)现在来求N(A).先从5只左脚鞋子中任取k只 =0,1,2,3,4),有(,种取法,而剩下的4-k只鞋子只能从 k (不能与上述所取的配对的)5一k只右脚鞋子中选取,即对于每个 固定的k,有 5)/5-k k八(4一k 种取法故 N(A) k k(4一k 故 P(A)=1-P(A) (A)/N(S) 80 10)21 4