《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 11 Models of Einstein and Debye

为确定谐振子的平均能量，Einstein又做了一个极为简单的假定，他假定晶体中所有原子都以同一频率の=在振动。因而在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能（忽略零点能）为：3N3NhohoEE-Zs,=Z3Nho,/kgT-1hWeLi=li=l1expkgThOEexpaEkgThOE于是，3NkBaTkgT.hWe1expkgThOE可以通过和实验曲线的定义：Einstein温度E拟合确定具体数值。k

为确定谐振子的平均能量， Einstein又做了一个极为简单 的假定，他假定晶体中所有原子都以同 频率 晶体中所有原子都以同 一频率  E在振动 。 因 而在一定温度下，由 N个原子组成的晶体的总振动能（忽略零 点能 ） 为：        N N E k T i i N e E i B 3 3 / 3 1                     i i   B E k T 1 1 e exp 1 1   2 2 exp 3 E E B V B E k T C Nk                  于 是， 2 exp 1 V B B E B T kT k T                     于 是 定义：Einstein温度 E E T k    可以通过和实验曲线的 E kB 拟合确定具体数值

I3Nk.f(F)C=3NkBTE1-1)2e称作Einstein热容函数，它是温度的函数：以上推导是基于晶体共有N个原胞而每个原胞只有一个原子的情形。对于晶体共有N个原胞而每个原胞有n个原子的情形，则有：TEer()=3nNk:f.()C, =3nNkBE-1)

2 3 3 () TE T Te T E E C Nk Nk f       2 3 3 () ( 1) E V B BE T T C Nk Nk f T T e        ( ) 称作Einstein热容函数，它是温度的函数： E E T f T 以上推导是基于晶体共有N个原胞而每个原胞只有 个原胞而每个原胞只有 个原子 一 的情形。对于晶体共有N个原胞而每个原胞有n个原子的情形， 则有： 2 TE T   T T e 2 3 3 () ( 1) E T E E V B BE T T T T e C nNk nNk f T T e         ( 1) e 

TEer(F)-3Nkef:(F)C,=3NkBTE-1)elT.<<1高温下：T>>TBT(x<<1)ex =l+x利用公式E)~1Cv=3NkB可以给出：这正是Dulong一Petit定律的结果。因为高温下，kT>>hの谐振子处于高激发态，kT比量子阶梯大的多，振动谱的量子性质变得不那么重要了，就是经典理论描述的结果。在低温下，只有の<k,T/h的那些格波才能被激发，因而才对热容有贡献，而频率高于k,T/h的格波已经冻结，对热容无贡献

2 3 3 ( ) E E T T E E V B BE T Te T C Nk Nk f T T         TE 2 ( ) ( 1) E V B BE T T f T T e      高温下：T >> TE 1 TET  利用公式 ( 1) 可以给出： ( )1 E E T f T  e x x 1 (x 1) CV  3NkB 这正是 Dulong－Petit 定律的结果。因为高温下， 谱 B E k T   k T T 谐振子处于高激发态， 比量子阶梯大的多，振动谱的 量子性质变得不那么重要了，就是经典理论描述的结果。 B k T 在低温下，只有 的那些格波才能被激发，因而才 对热容有贡献，而频率高于 的格波已经冻结，对热 / B   k T  / B 对热容有贡献，而频率高于 k T  的格波已经冻结，对热 容无贡献。 B

TEe>>1在低温下：T<TB1TE=3NkgeT很显然，表达式中指数项起主要作用，温度下降，热容量降低。当T→>0时，Cv→>0，这与实验结果定性符合。但更精细的实验结果表明，当温度很低时，CyαT3，这说明Einstein理论假定单一频率是过分简单：Einstein模型只适于描写格波中的光学支，因为光学支一般频率宽度很窄，可以近似的用一个固定频率来描述。Einstein模型实际忽略了频率较低的声学波对热容的贡献。而在低温时声波对热容的贡献恰恰是主要的，因此上式所示的热容随温度下降要比实验结果更快。由于这些不足，Debye,Born等人开始了晶格振动的仔细研究，给出频率表达式

在低温下：T << T E 1 TE T e  2 3 TE E T V B T C Nk e T         很显然，表达式中指数项起主要作用，温度下降，热容量降低。 当 T  0 时 C  0 这与实验结果定性符合 但更精细的实验 T     当 T  0 时，C V  0，这与实验结果定性符合 。但更精细的实验 结果表明，当温度很低时， C V ∝ T 3，这说明Einstein理论假定 单 频率是过分简单 一频率是过分简单：Einstein模型只适于描写格波中的光学 支，因为光学支一般频率宽度很窄，可以近似的用一个固定频 率来描述。Einstein模型实际忽略了频率较低的声学波对热容的 贡献。而在低温时声波对热容的贡献恰恰是主要的，因此上式 所示的热容随温度下降要比实验结果更快。 由于这些不足，Debye, Born等人开始了晶格振动的仔细研究， 给出频率表达式

Einstein模型的局限性在哪里？

Ei i nste n 模型的局限性在哪里 模型的局限性在哪里？