称为f的傅立叶级数。 in)
称为 f 的傅立叶级数 。 f 0 1 ( ) ( cos sin ). 2 n n n a f x a nx b nx
3、收敛定理 定理15.3（傅里叶级数收敛定理）若以2π为周期的 函数f在一π，上按段光滑，则在每一点x∈【一兀，， f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的 算术平均值，即 f40/-0-2+2a.ox+6m 2 其中an,bn为f的傅里叶系数
函数 [π, π] x [ π, π], f 在 上按段光滑, 则在每一点 f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值, 即 0 1 ( 0) ( 0) ( cos sin ), 2 2 n n n f x f x a a nx b nx , n n 其中 a b 为f 的傅里叶系数. 定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的 3、收敛定理
概念解释 (1).若f的导函数在上连续，则称f在α，b]上光滑， (2).如果定]上函数f至多有有限个第一类间 断点，其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存 在且连续，并且在这有限个点上导函数'的左、右 极限存在，则称f在[a,b]上按段光滑. 重要性质 在a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质：
概念解释 （1）. 若f 的导函数在 [ , ] a b 上连续, 则称f在[a, b]上光滑. （2）. 如果定义在 [ , ] a b 上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 f 的左、右 极限存在, 则称 f 在 [ , ] a b 上按段光滑. 重要性质 在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质:
(I)f在a,]上可积. (2)在[，b]上每一点都存在f(x±0)，如果在不连续 点补充定义f(x)=f(x+0),或f(x)=f(x-0),则 还有 limf-f) t->0 limf(-1)-f-0)-f(x-0). t-→0 -t
(1) f 在 [ , ] a b 上可积. (2) 在 [ , ] a b 上每一点都存在 f x( 0) , 如果在不连续 点补充定义 f x f x ( ) ( 0) , 或 f x f x ( ) ( 0) , 则 还有 0 0 ( ) ( 0) lim ( 0), ( ) ( 0) lim ( 0), t t f x t f x f x t f x t f x f x t
(3)在补充定义f'在[血，b]上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后（仍记为f'),'在a,b上可积 从几何图形上讲，在 区间[☑，b上按段光滑 =f(x) 光滑函数，是由有限个 光滑弧段所组成，它至 多有有限个第一类间 图15-1 断点（图15-1）
(3) 在补充定义 f 在 [ , ] a b 上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积. 从几何图形上讲, 在 区间[a, b]上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个第一类间 断点 (图15-1). 光滑弧段所组成,它至 图15 1 O b x y f x ( ) 1 x 2 a x 3 x 4 x y