出此可见,{xn(t如)关于平均收敛,故更依测度收敛,从而 存在一子列{xn(t,o)及y(0),使关于几乎处处地有 lim rn(tu)=y(t,如) 而且{y(t,m),t∈T}是 borel可测过程,以M表(9)式不成立的 (t,m)集,则n(M)=0. H: Fubini定理,存在t集ToCT, L(T)=0,使如固定t∈TT,则以概率1有 y(u, 0) limx, t, co) 由(7)知如t∈T\T,有 P(y(t,0)=§(t,))=1 (11) 今定义{x(t,),氏∈T}使 (t,)=y(t,o),如t∈TTUR) 而且在此(t,)上(9)式成立1) (12 =(t,),反之 由于(9)式关于几乎处处成立,而且k((rUR)×a)=0,故 t(,o)与y(t,0)不重合的点必构成某个零测集的子集.既 然y(t0)为1X可测,故{x(t,o),t∈T}是可测过程 i(I1),(12)知{(,ω),t∈T}与{x(tω),长∈T}等价, 试证{x(t2),t∈骨完全可分,由(12),X(m)=a(u), 故x(0)=Em),(一切o∈型).任取一点(4,x(t,o)) (∈N,N表原可分过程{(),长∈T的例外集,那么,它或者 重合于(5(t,),此时由于(t,o)关于R的可分性,有 (x(t,ωo)=(t,5(t,o)∈彐2(t)=X1() 或者它重合于(y(),出(9)及x,(tm)的定义仍知 (tx(t,o)=(ty(t,m)∈2()=X2() 于是得证{x(,),t∈T}关于R可分,由512定理2,即知它 完仝可分 °如T为无穷区间,则可表T=∪Tm这里Tm为有穷区 间,T∩Tm=中,(n≠m).对每{5(),∈Tn},由2得其 1)即如(4,)∈{(一(T∪R))×∩M
等价的完全可分、可测修正{x{(m),∈Tm}.于是{x(a), t∈T}即所求,其中 x:()=x1m(o),如t∈T 定理2设{5:()t∈T}为可分过程,而且对每固定的t∈ 有 P(im(,)=5(t,)) CL 3) 则必存在等价的可分、 Borel可测过程{x(),t∈T},它的几乎 一切样本涵数是右下半连续的 证设{(∞),t∈T的可分集为R3对每固定t令() im5、(a).由可分性及(13),存在,P(2)=1,使对任意 J↓t ∈岛,有 (a)样本函数(·,)关于R可分 (b)(r,a)=}(r,ω),r∈R 任取一实数c而定义 x(,)≡(,),如∈Q (14) 如a∈2 则{x(),tT即所求的过程.实际上,由(13),(14)知 x:(o),t∈T}与{5(u)长∈T}等价.其次,以r表R中的元, 如a∈, g(3如)=im(r)=lm(r,ω)=lim(,o)(15) 其中第一等号成立是由于(a),第二等号由于(b),第一、三项相 等说明(·,0)关于R可分,由此可分性得第三等号,从而【(·,a) 右下半连续.因之由(14)知对一切,x(,如)也关于R可分而 且也右下半连续,最后,出于对任实数2 (t0):inf,(r,a)<λ)=∪(t:t≤r≤t t<r<+ r∈R ×(m:5(r,m)<4) 而右方付一被加项中第一因子集属于密第二因子集属于 收inf.r:)为绨1×可测,从而 I<r<【十
sOt, (0)=lim inf E(r,w),(062u) <r<r十 在T×息上为图,×所可测,故x(,)在T×O上也为 ;×分可测 514亲件概率与条件数学期望 ()在初等概率论中,枣件A关于事件D的条件概率(时 也称为“在事件D出现的条件下,事件A的条件概率”)定义为 P(AID)=P(Ai P 但需假定P(D)>0,否则无定义.随机变量y(ω),如果|y}的 数学期望E1y<∞,则它关于D的条件数学期望定义为 E(yD) P(D!,y(co)P(do) lpdu d) 但需假定P(D)>0 这二定义在实用中很不方便,因为我们往往事先不知P(D) 是否大于0,于是有必要重新定义它们.任何一个概念需要推广 或重新定义时,新的定义至少应满足两个要求:它必须起旧概念 所起的作用而且能避免后者的缺点;它是旧概念的一般化,使得在 一定的特殊情况下,新概念与旧的重合,或与旧的有密切的联系 取y(o)=x(o),xA(u)是A的示性函数,即当u∈A时等 于1,“∈A时等于0.则由定义 E(XAID)=P(AD) 妆条件概率是条件数学期望的特殊情况,自然,在新定义中也应如 此,所以,我们从重新定义条件数学期望开始 概率空间仍记为(Q,分,P),是的某一子σ代数, C,yω)是满足E|y<∞的随机变量.在新定义中,不 是定义y关于菜一事件,而是关于某σ代数多的条件数学期望 因此,不好说新定义是旧定义的直接推广,然而,以后会看到〔见
例1),二者之间有着紧密的关系 定义1具有下列二性质的随机变景E(y)称为y()关 于的条件数学期望(简称条件期望)如果 1.1E(y)是可测函数; 12对任意A∈劣,有 E(y! g)P(do)s, yp(dc) 定义2设C∈所为任一事件,则它的示性函数,即 xc()=1如a∈C =0如∈C 关于的条件期望称为C关于的条件概率,记为P(C|闭) 换言之,P(C|劣)是满足下二条件的随机变量: 11′P(C1/)为涕可测函数; 12′对任意A∈多,有 P(C. B )P(do= P(aC) (2) 既然糸仁概率是条件期望的特殊情况,收只要讨论后者就够 为使定义合理,必纸保证满足条件1及12的随机变量存 在.为此,注意(1)的右方值yP(4o),是,上的广义测度, 而且在闭上,它关于测度P是绝对连续的,即当P(A)=0时 yP(d)〓0 因此,由 Radon- Nikodym定理,可见满足1】及I2的随机变量 E(y./)的确存在,而且,一般地有许多个,但如有二随机变量 E1(y)及E2y图)都满足1.1及.2,那么 P(:E;(y图)=E2y闭))=1 既然yω)关于的条件期望一般不唯一,我们以后所说的条件 1)明确些应写Fy])为B(|s)(q),以表明它是c的函数,这里及以后都路去 了心,关于下的P(C卵)也如此
期望F(y)只是指它们之中的一个代表 何1设=(中,D,D,9),D∈5,0<P(D) 一D.试证此时 E(y)=1P(m)/,y(o)P(do)=E(yD),如∈D (4) PDl。y(o)P(d)=E(y|D),如∈b P(CD)=P(C|D),如∈D C\g PDP(CD)=P(C)D), g oE2(5) P(CI P(D) 实际上,为使1.1成立,E(y)必须也只须量下形 C:如∈D F(y团)= C2如m∈b(C1,C2为常数) 以之代入(1),并令A=D,即得 CP(D) 尸P(do)或C1 pdo) =E(y D) P(D 同样证明C2=E(yD),而且这样决定的C1,C2使12对一切 A∈图成立 (二)试研究E(y拓)(特别地P(C潴))的性质.由于 E(y!/)是用可测性11及积分性质12来定义的,这使人想到 E(y|拓)也具有一些类似积分的性质 以下的等式、不等式或极限关系式都是以概率1成立的,又 (ω),y2(o)都是随机变量,而且E!y≤∞,Ey<∞,不再 声明. A.对任意C1∈R1,C2∈R1,有 E(C,y+Ci2 oB)=C,E(yr g)+C2E(y2I g) 证由定义只要证明:CE(川)+C2E(y2|)是关于 坐可测的随机变量:而且对任意A∈团有 [G. 3B)+C2E(a )p(do