最多只相差一零测集(它是N的子集),由于(,P)的完全性, 可见A也是一事件 (二)定理1对任一定义在(Q,,P)上的随机过程 {5(o),t∈T},必存在可分的等价的过程{x),t∈T 这定理说明,虽然一个给定的过程{(),t∈T}未必是可分 的,但在与它等价的过程中,必存在一个可分的代表.因此,对已 给的一族相容的有穷维分布,由§1.定理1及这里的定理,必 存在…可分的过程,它的有穷维分布族与已给的相重合,换言之, 只要所研究的问题只涉及有穷维分布族时,可以假定所考虑的过 程是可分的,先证 引理1对任意二区间J及G,JCT,存在数列{sn}CJ,使 对任一固定的t∈J,有 P(51∈G,§∈ 证用归纳法选{n}.仨取∈J如在J中已选出…,, 令 P P(52∈G,, 5n∈G) (3) J 于是必存在∈J,使 P(5nG,51,∈G,…,5n∈G)≥Pn(1-1)(4) 但诸*件Gn=(m+∈G,5G,…,5,G)(n=1,2,…) 互不相交,故 ∑r(G 从而(+)式右方值P,(1 →0.此表示 Timp 其次,既然对任一固定的t有 5;∈G,5;G 1,2 (5;∈G,§;∈G 这些事件的交就是(2)中的事件,故由(3)及(5)即得证(2)棒
定理1之证称任二以有理致点为端点的区间J及G(JC 汋一“对偶”,全体对偶成一可列集,对每一对偶(J,G),可得 具有引理1中性质的数列{sn}.把全体这种数列与T中全体有理 数合并,得一在T中稠密的可列子集R.如果在{sn}中增加新点, (2)屮的事件不能加大,因此,R具有性质: 对任一固定的t∈T及任一固定的对偶(J,G),使t∈J,有 P(1∈G,5∈G,对一切s∈JR成立)=0 现在固定x而以A表事件“至少存在一对偶(J,G).t∈J 使5:∈G,5∈G,对一切∈R成立”,则由(6) PA)≤∑P(51∈G,5,∈G,对一切∈丿R成立)=0 故P(H1)=1.以下任意固定m∈④,任取G使5ω)∈G.由 A,的定义,对任意含t的J,必存在s∈丿R,使§(a)∈G,否则此 ∈A,由于J的任意性,当J缩小时,可找到{a;}∈R,使 →而且每5,()∈G 今取Gx→Gn+12使ξω)∈Gn,又使G。之长趋于0.如上所 述,对每Gn,可找到{a}cR,使 n)→j→∞),5∈G。 选点列{t;}CR,如下: 令v1=m,vn为满足|nx-<1的任一x.显然, vn→>t,5n(0)→5(m)(n→>∞),这表示二维点 (t,5))∈三u)=(r,5,(u),r∈R) 由于如∈A2任意,故证明了:对任意固定的t∈T,有 P((t25,(o))∈E()≥P(d1)=1 (7) 造一新过程{x(),t∈T}:对任一∈Q,当t∈R时,令 )=5( 当tR时,令 (8) x()=5),如(t,§)∈EA) δ(),如(t5ω)()
这里8()应选择得使(tδ())∈().这样的8,)总可 用下法找到:{取一列{s;}<R,→t,在集合{;}中,任意选 一收敛(但极限可为c或一∞)的子列{(o∈{5,(o)于是 令 6()=lm5() 即可 剩下要证{x(),t∈T是与{(),t∈T}随机等价的可 分过程 由(及(8)可见,对任一固定的t,我们至多只在一0测集 上修改了5)的值以得x2(),故 P(x:()=占())=1(t∈T) 其次,由(8)中第一式知对每如∈ XR(u=SRo) 再由(8)中其余二式知 X2CX(o)特 通常称定理1中的{x2(),t∈T}为{5)1∈T}的可分修 正.(8)中的8),必须允许它可能为∞或-∞时才能保证存 在.δ()的选择可能不唯一,但这并不影响结果,因为由(7), 有 P(x(u)=8(0)=0 (三)在实际中运用可分性时,困难之一是:如何找R?如果 对过程稍加条件,问题极易解决 定理2如可分过程{x(u),t∈T随机连续,则此过程是完 全可分的 证由假定,对任一列{<Tt→珈有 Pli 故存在子列{}∈{,使 P(limx,=xr) 9 由过程是可分的假定存在可分集V,使
P(XTCXy) 今设R为任一稠于T的可列集,任取t∈V,及{CR,t→4由 (9)P(t,x)∈X)=1,由V的可列性得 P(XvCXR)=1, P(XyCX)=I 既然,P( XCXY)=1,即得 P(X,CX)=I 如T=[0,0,由上述证明可见:首先,对可分的右随机连 续过程,定理1的结论仍正确;其次,可分性涉及极限点6(),因 而涉及R1中的拓扑,我们这里用的是欧氏距离产生的拓扑,如果 采用其他的拓扑,8()的选择也随之而异, s13随机过程的可测性 (一)设{x1(o),t∈T}为(,,P)上的随机过程,T为 R1中任一Borl集,有时候,我们需要考虑样本函数x(o)对t 的积分,因而有必要引进过程可测性的概念 以1表T中全体Bore子集所成的a代数,=L×P表 Lebesgue测度与P的独立乘积测度,定义在乘积a代数多1 上,最后,1×关于完全化的代数记为多:×,, 称过程{x(),t∈T}为可测的.如对任意实数λ,有 ((t,m):x()≤x)∈据1× (1) 注意(1)中左方是(t,)的二维点集 有些问题中需要一种更强的可测性,称过程{x(),∈T}为 Bore可测的,如对任意实数λ,有 ((t,):x(o)≤4)∈图:X男 (2) 显然,Bore可测过程必为可测的,至于何时需要那一种可测 性,则视问题而异 以下为简单计,设为区间,其实下列定理对任意Brd集T 正确,只要在证明中作明显的修改 (二)定理1设{(),∈T}是随机连续的过程,则必存 在与它等价的完全可分、可测的过程{x),tT 12·
证1°不失一般性:可设存在常数C<∞。使 §(t,c) 否则,令 (t,)=tan-1 显然(t,c)是有界的。如对它存在等价的完全可分可测过程 {x(t,),t∈T},则过程 (r, co)=tan(i, co) 即所求的过程 2°今设T为有穷区间(开或闭,平开半闭均可,来证明本定 理 不妨设(3)成立.由假定,还可以假定此过程关于T中任一 可列稠子集R可分固定R,将R中前n个元排为 < 设T=[ab,而令a=),b=5m造 x,(t,t0 如≤t<9 易见过程xn(t,ω),t∈[a,b是Borl可测的,因为 ((t3):xn(,c)≤c) 1,s4)X((",)≤c)U[),sh] ((,)≤c)∈劣: 对任意固定的4∈T,由随机连续性假定,有 Lime(3)=5(3如) 因对均匀有界随机变量列,依概率收敛等价于平均收敛,故 lim e E(,) (8) 五mE|xn(a,m) 0 由x(10)的有界性、T的有界性及 Fubini定理 Ixn(, w)-xm(, o)1u(dt, do) E xn(, o-xm(t, o)dt