(Cy, + C2y2P(dio) 这里,由E(y1多)的定义,它们都是可测的,故C1E() +CE(y2|猪)也可测;又因对A∈绪,有 E(y;|)P(do)=yP(do)(i=1,2) 以C;乘上式两边后,对i=1,2求和,即得(6) B.如y≥0,则E(yB)≥0(as.) 证令 A=(:E(y帮)<0),An={0:Ey图)≤一 则 1P(An)≥「E(y)P(4)=.y()≥0 故P(An)=0,P(4≤∑P(Am)=0 C.|E(y劣)≤E(y猪) 证由B,有E(|y-)≥0,E(y十y须)≥0 H此及A,得Fy,)≤E(!y|). E(y|B)=E(一y|图)≤ly!图) D.设0≤yn↑y,Ey<∞,则 E(yn)↑E(y图) 特别),如集dn∈罗,An个,则 P(An|)↑P4 证由B 0≤E(y)≤E(v2闭)≤ 故几乎处处存在极限imE(yn;闭);在极限不存在的上补定义 !)A↑表A王 ,dn↓才表 + d
为0,经这样补定义后的极限是名可测的.为证它等于E(y), 只要注意,用积分单调收敛定理二次,对任意A∈,,有 「,mE(y2)()m,E()(l) lim P(dc limynP(do)= yp(dv) E.设yn→y,lyn≤x,Ex≤∞,则 E(y④)→E(yl) 证定义 zn= sup yr+k,如= Int wn 显然0≤x一↑x一y,0≤x+↑x+y 故由D, EC 1.)↑E(x-y,z) E(x+xn!多)↑E(x+y绍) 从而 E(霈)↓E(y),),E(n.)↑E(y) 最后只要注意,由于B, E(z图)≤E(yn)≤E猪) F.如x()对可测,Eyz!<∞,E1ly|<∞,则 E(ys)=EGsB) 证令 fz(0: Elyzi< oy L={x(o):使(7)成立} 由A,D知L为-系,当z=k,(M∈)时, zyp(d) Xuyi(dto) yP(dw) E(y闭)P(4o) xmECyigg)P(d) zE(y)Pd)(A∈图) 既然,E(y|)阴显地是团可测的故 1)参骨末附录二
∈L,(M∈s) 利用S-系方法即得所欲证排 G.如y)为-可测则E(少)=y 证因此时y具备11及1.2中对E(y|)所需性质 H.如第1C2C所,则 E[E(y|)1]=Fy1)=E[E(y)涕1 证为证前一等式,只要注意如A∈1则A∈图2,故 P(4o)=1.E(y|s2)P(lo) 为证后一等式,注意E(y须)为2可测,然后应用G即 可 在上述各性质中取随机变量为事件的示性函数,就得到相应 的条件概率的性质.例如,在D中取y(0)=xA(0),y(m) xA(ω),dn↑A,即得 P(An)↑P(4) 最后我们还说明一个常用的记号,设{xt∈T是一随机过 程,y()关于a代数分{x;t∈T}的条件数学期望E(y分{x ∈T)简记为E(y|x,t∈T),因而事件A关于{x;∈T}的 条件概率记为P(4x,t∈7).由于Eyx1t∈T)关于F{x:3 r∈T可测,根据测度论知存在无穷元 Borel可测函数f(x z1……),(x;∈R1)及h;∈T;i=1,2,……,使 F(y(o)x2(a),t∈T)=f(x(o),x,()…)(9 拌别,当T只含n个点(1,2,……n)时,上式化为 E(y(ω)!x1(o),……,x,()〓fx(o),……,x()),(10) 这里八:…,zn)是某n元 borel可测函数 §15马尔科夫性 一)马尔科夫链(简称马氏链〕是一种特殊的随机过程,它的 特征是具有马尔科夫性(简称马氏性),亦称无后效性 设(,沪,P)是一概率空间,定义于其上的随机过程X= 21
{x:(o),t∈T}的状态空间为E我们假定E是R1中一可列集称 X为马氏链,如果它具有马氏性:对任意有穷多个t∈T,t< 2<…<tn(n>1),任意使P(x1=i…,xn=i)>0 的t ∈E,有 马氏性的直观解释如下:设想有一作随机运动的质点∑,在 t时Σ的位置记为x,把时刻tn1看成“现在”,从而xn届于“将 来而4…,tn-2都属于“过去”.于是(1)式表示:在已知过去 x,=i1;…;xn,=i-”及现在“xn-1=in-”的条件下,将来 的事件 的条件概率,只依赖于现在发生的事件 ”.简单地说,在已知“现在”的条件下:“将来”与“过去”是独 立的.下面的讨论表明。(1)中的“将来”与“过去”的内容可以大 大充实,而不仅限于“xn=i”等的形式 )马氏性有许多等价的形式,下面定理1的(A),(B),(C) 中,用的是关于事件的古典的条件概家,而(D),(E)中则采用关 于σ代数的条件概率或条件数学期望.表面上看,(A),(D)含义 最少,其实它们都等价.引进下列三个σ代数: {xn35≤n≤tu∈T 5了 ≤t,∈T} =B{xn,t≤#,#∈T 定理1下列诸条件等价: A)马氏性(1)成立 (B)对任意t∈T,i∈E及A∈和,B∈P(B,x=; 有 PCAB, x,=i)=P(A|x=i) (C)对任意!∈T,i∈E及A∈、,B∈,和tP(x2=1>0, 有 P(ABIx=i)=P<Ax=i)P(B x=i) (3) (D)对任意<l<…<tnt∈T,n>1,iE,有
P(xn=ix;,…,x-)=P( x:1-),(a.s))(4) (E)对任意t∈T,如果函数5(u)为.∥可测,而且E1 ,则 E(5|)=E(5}x2)(a.s.) (5) 证(A)→(D):注意P(x=计x-,)关于(x, x1-)可测,故为证(4),只要证对任意B∈{x1,……,x1-,} P(B)>0,有 P(xr, =i*i,_P(do)=P(B, (6) 先设B=(x1=i…,xn-,=i-).在此B上 P ix/-)=P( (6) 此式可如下证明:根据§1.4(10),存在某函数f(),使 P(=,=f(xr. 在ω-集〔;xn-(o)=in-)上,(x,-,)〓f(-)是常数.出条 件概率的定义,得 n一 于是f(in-)=P(xn=ixn-=i-),而(6)得证 以(6)代入(6),得 PCx 1一“x!== P 而这式由(1)是成立的,是(6)式对上面形状的B得证:从而对 形如 B=(x,∈d1 (7) 的B也得证,这里A,CE任意 使(6)成立的全体B构成一系A,它是4-系,一切(7)形的 B成x-系,由上知A→2故由2系方法知 A20(m)=,{x i)(as)表左式对关于P的儿乎一切的c成立,亦即左式成立的概率为1