《高等数学A》教学大纲 课程名称：高等数学A(Higher Mathematics) 课程编号：L12001,L12002 总学时数：160学时讲课学时：160学时 学分：10学分 先修课程：《初等数学》 教材：《高等数学》（同济大学应用数学系编著，高等教育出版社，第七 版)。 参考书目： 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版 《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社 课程内容筒介 本课程是理、工等相关专业的第一基础课。本课程的研究对象是函数（变化 过程中量的依赖关系)。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，向量 代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数与常微分 方程等。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究 生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系 到学校的整体教学水平。 一、课程的性质、目的和要求 高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。通过本课程的学习，使 学生系统地获得一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、 常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物 理、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。在课堂讲授的同时，辅以课 堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思 维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学 能力。 二、教学内容、基本要求和课时安排 《高等数学A》授课课时分配表 章节 讲课习题课合计 第一章函数与极限 16 2 18 第二章导数与微分 8 10 第三章微分中值定理与导数的应用 12 2 14 第四章不定积分 8 2 10 第五章定积分 8 2 10 第六章定积分的应用 6 0 6 第七章微分方程 10 2 12
《高等数学 A》教学大纲 课程名称：高等数学 A (Higher Mathematics) 课程编号：L12001，L12002 总学时数：160 学时 讲课学时：160 学时 学 分：10 学分 先修课程：《初等数学》 教 材：《高等数学》（同济大学应用数学系编著，高等教育出版社，第七 版）。 参考书目： 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版 《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社 课程内容简介 本课程是理、工等相关专业的第一基础课。本课程的研究对象是函数（变化 过程中量的依赖关系）。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，向量 代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数与常微分 方程等。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究 生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系 到学校的整体教学水平。 一、课程的性质、目的和要求 高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。通过本课程的学习，使 学生系统地获得一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、 常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物 理、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。在课堂讲授的同时，辅以课 堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思 维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学 能力。 二、教学内容、基本要求和课时安排 《高等数学 A》授课课时分配表 章节 讲课 习题课 合计 第一章 函数与极限 16 2 18 第二章 导数与微分 8 2 10 第三章 微分中值定理与导数的应用 12 2 14 第四章 不定积分 8 2 10 第五章 定积分 8 2 10 第六章 定积分的应用 6 0 6 第七章 微分方程 10 2 12
第八章空间解析几何与向量代数 14 2 16 第九章多元函数微分法及其应用 14 16 第十章重积分 10 2 12 第十一章曲线积分与曲面积分 14 4 18 第十二章无穷级数 16 2 18 合1计 136 24 160 本课程的教学内容共分十二章 第一章函数与极限 内容：函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限 存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 基本要求 1.理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2理解复合函数和反函数 概。 3.熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4.会建立简单实际问题中的函数关系式。 5.理解极限的概念（对极限的6-N、6-δ定义可在学习过程中逐步加深理解， 对于给出6求N或♂不作过高的要求。)，掌握极限四则运算法则。 6。理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。 7.了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 8.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并 会判别间新点的类型」 9 解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小 值定理)。 重点、难点 重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限，函数的 连续性。 难点：极限的定义，极限存在准则。 第二章导数与微分 内容：导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确 定的函数的求导法则，高阶导数，函数的微分。 基本要求 理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解 导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和 求导法则求一般函数的导数。 3.了解高阶导数的概念、求导法则，会求筒单函数的m阶导数，会求分段函 数的导数 4.理解微分的概念、微分与导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微 分形式的不变性，会求函数的微分
第八章 空间解析几何与向量代数 14 2 16 第九章 多元函数微分法及其应用 14 2 16 第十章 重积分 10 2 12 第十一章 曲线积分与曲面积分 14 4 18 第十二章 无穷级数 16 2 18 合计 136 24 160 本课程的教学内容共分十二章 第一章 函数与极限 内容： 函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限 存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 基本要求 1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念(对极限的 -N、 - 定义可在学习过程中逐步加深理解， 对于给出 求 N 或 不作过高的要求。)，掌握极限四则运算法则。 6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。 7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并 会判别间断点的类型。 9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小 值定理)。 重点、难点 重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限 , 函数的 连续性。 难点：极限的定义，极限存在准则。 第二章 导数与微分 内容： 导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确 定的函数的求导法则，高阶导数，函数的微分。 基本要求 1.理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解 导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和 求导法则求一般函数的导数。 3.了解高阶导数的概念、求导法则，会求简单函数的 阶导数，会求分段函 数的导数。 4.理解微分的概念、微分与导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微 分形式的不变性，会求函数的微分
重点、难点 重占 呈数的定义。初等函数是数的最法 难点：复合函数求导法，高阶导数的求法 第三章微分中值定理与导数的应用 内容：中值定理，罗必达法则，导数的应用。 甚本要求 L.理解并会用罗尔(Rolle))、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy）、泰 勒(Taylor)中值定理 2.掌握洛必达法则求未定式极限的方法。 3.掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。 4.掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法。 5.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直渐近线，会 描绘一些简单函数的图形。 6.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 重点、难点 重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则，用导数判断函数的单调性 及极值。 难占，泰勘定理 第四章 不定积分 内容：不定积分的概念与性质，原函数存在定理，换元积分法、分部积分法， 有理函数的积分。 基本要求 1理解原函数与不定和分的概会与性质 2.掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法 3.会求有理函数、三角函数有理式和筒单无理函数的积分。 重点、难点 重点：积分基本公式，不定积分的换元积分法、分部积分法。 难点：换元积分法（包括第一换元法和第二换元法） 第五章定积分 内容：定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元积分法和分部 积分法，反常积分。 基本要求 1理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质。 2.熟悉积分上限的函数及其求导方法，掌握牛顿 布尼兹(N-L)公式。 3.掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。 4.了解反常积分的概念并会计算反常积分。 重点、难点 重点：定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元积分法和分部 积分法。 难点：积分上限的函数及其求导方法，反常积分的概念及其计算。 第六章定积分的应用
重点、难点 重点： 导数的定义，初等函数导数的求法。 难点： 复合函数求导法，高阶导数的求法 第三章 微分中值定理与导数的应用 内容： 中值定理，罗必达法则，导数的应用。 基本要求 1.理解并会用罗尔 (Rolle) 、拉格朗日 (Lagrange) 、柯西 (Cauchy) 、泰 勒 (Taylor) 中值定理. 2.掌握洛必达法则求未定式极限的方法。 3.掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。 4.掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法。 5.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直渐近线，会 描绘一些简单函数的图形。 6.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 重点、难点 重点： 罗尔定理，拉格朗日定理， 洛必达法则，用导数判断函数的单调性 及极值。 难点： 泰勒定理。 第四章 不定积分 内容： 不定积分的概念与性质,原函数存在定理，换元积分法、分部积分法， 有理函数的积分。 基本要求 1.理解原函数与不定积分的概念与性质。 2.掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。 3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 重点、难点 重点： 积分基本公式，不定积分的换元积分法、分部积分法。 难点： 换元积分法（包括第一换元法和第二换元法）。 第五章 定积分 内容：定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元积分法和分部 积分法，反常积分。 基本要求 1.理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质。 2.熟悉积分上限的函数及其求导方法，掌握牛顿 - 莱布尼兹 (N - L) 公式。 3.掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。 4.了解反常积分的概念并会计算反常积分。 重点、难点 重点：定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元积分法和分部 积分法。 难点：积分上限的函数及其求导方法，反常积分的概念及其计算。 第六章 定积分的应用
内容：定积分的元素法，定积分的几何应用与物理应用。 基本要求 1.理解定积分的元素法，会用定积分表示一些几何量和物理量 掌握利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知 的立体体积、平面曲线的弧长的方法。 3.会求变力沿直线所做的功，会求引力、压力和函数平均值。 重点、难点 重占 利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长、变 力沿直线所做的 难点：利用定积分计算平行截面面积为已知的立体体积、引力、压力。 第七章微分方程 内容：微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二 阶常系数线性微分方程 基本要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念 2.掌握可分离变量的方程和一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些 微分方程。 4.会用降阶法求解三类方程：y侧=y=x以.y”=0,y) 5.理解线性微分方程解的性质和解的结构，知道求特解可用试探法（试探有 无g”,产以d型特解)。 6。掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。 7.会解)=(xe“或e(Ac0s血+8m园的常系数线性非齐次微分 方程。 8.会用徽分方程解决一些简单的应用问题。 重点、难点 重点：可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方 程解法，自由项为R(闭e“,e(A0s压+Bma)的二阶常系数非齐次线性微 分方程特解的求法。 难点：伯努利方程和全微分方程的解法，自由项为e“(4cos众+Bm) 的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。 第八章空间解析几何与向量代数 内容：空间直角坐标系与向量的运算，曲面及其方程，空间曲线及其方程」 基本要求 1.理解空问直角坐标系、向量概念及其表示
内容: 定积分的元素法，定积分的几何应用与物理应用。 基本要求 1. 理解定积分的元素法，会用定积分表示一些几何量和物理量。 2. 掌握利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知 的立体体积、平面曲线的弧长的方法。 3. 会求变力沿直线所做的功，会求引力、压力和函数平均值。 重点、难点 重点：利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长、变 力沿直线所做的功 难点：利用定积分计算平行截面面积为已知的立体体积、引力、压力。 第七章 微分方程 内容 ： 微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二 阶常系数线性微分方程 基本要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念 2.掌握可分离变量的方程和一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些 微分方程。 4.会用降阶法求解三类方程： 。 5.理解线性微分方程解的性质和解的结构，知道求特解可用试探法（试探有 无 型特解）。 6. 掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。 7.会解 或 的常系数线性非齐次微分 方程。 8.会用微分方程解决一些简单的应用问题。 重点、难点 重点： 可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方 程解法， 自由项为 的二阶常系数非齐次线性微 分方程特解的求法。 难点： 伯努利方程和全微分方程的解法， 自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法 。 第八章 空间解析几何与向量代数 内容: 空间直角坐标系与向量的运算，曲面及其方程，空间曲线及其方程， 投影曲线方程，平面及其方程，空间直线及其方程，球面、柱面、旋转曲面、常 用的二次曲面的方程及图形。 基本要求 1.理解空间直角坐标系、向量概念及其表示
2.掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示 式进行向量运算的方法」 4.掌握平面、直线方程及其求法。 5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直 线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6.会求两点间、点到直线、点到平面的距离。 7.知道曲面的一般方程及其图形 3.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求旋转轴是坐标轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影， 并会求其方程。 重点、难点 重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。 难点：曲面方程。 第九章多元函数微分法及其应用 内容： 多元函数的极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在 的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、 最大值与最小值 基本要求： 1.理解多元函数的概念及二元函数的几何意义.会求多元函数的定义域。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性 质。 3.理解偏导数的概念及其几何意义，掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法， 知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。 4.理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条 件，了解全微分形式的不变形。 5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理，会求 多元隐函数的偏导数。 数 与梯度的概念并掌握其计算方法。 7.了解空问曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念，会求其方 程。 8.理解多元函数极值与条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条 件。了解二元函数极值存在的充分条件 会求二元函数的极值.会用拉格朗日 乘数法求条件极值 ，会求筒单函数的最大值和最小值，并会解一些简单的应 用问题。 重点、难点 重点：二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函 数的极值，拉格朗日乘数法。 难占 :复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数 与梯度的概念，拉格朗日乘数法。 第十章重积分 内容：二重积分、三重积分的概念、性质与计算，二重积分的应用
2.掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示 式进行向量运算的方法。 4.掌握平面、直线方程及其求法。 5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直 线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6.会求两点间、点到直线、点到平面的距离。 7.知道曲面的一般方程及其图形。 8.了解常用二次曲面的方程及其图形 , 会求旋转轴是坐标轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影 , 并会求其方程。 重点、难点 重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。 难点：曲面方程。 第九章 多元函数微分法及其应用 内容： 多元函数的极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在 的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、最大值与最小值。 基本要求： 1.理解多元函数的概念及二元函数的几何意义 , 会求多元函数的定义域。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念 , 了解有界闭区域上连续函数的性 质。 3.理解偏导数的概念及其几何意义，掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法， 知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。 4.理解全微分的概念 , 会求全微分 , 了解全微分存在的必要条件和充分条 件 , 了解全微分形式的不变形。 5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理，会求 多元隐函数的偏导数。 6.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 7.了解空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念 , 会求其方 程。 8.理解多元函数极值与条件极值的概念 , 掌握多元函数极值存在的必要条 件。了解二元函数极值存在的充分条件 , 会求二元函数的极值． 会用拉格朗日 乘数法求条件极值 , 会求简单函数的最大值和最小值 , 并会解一些简单的应 用问题。 重点、难点 重点： 二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函 数的极值，拉格朗日乘数法。 难点： 复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数 与梯度的概念， 拉格朗日乘数法。 第十章 重积分 内容：二重积分、三重积分的概念、性质与计算，二重积分的应用