《线性代数》课程教学资源（试卷习题，C）第一章 行列式

第一章部分习题及解答 1.求下列行列式中元素a,2,a,a的余子式和代数余子式。 (2) a21a22433a. a41a42a43a44 da an aza an an azs 解：a:的余子式M.=a1aga和代数余子式4：=(-l)aa:, a41a43a44 aa ass au a a,的余子式M1=a2aa2和代数余子式41=(-l)a2a23a a42a43a44 dv a的余子式M=0a:a和代数余子式4=(-)1aa9 a41a42a4 aa a2 as 2.用行列式的定义计算行列式 la,aa000 a1a22000 (6)a1aa100 a41a42010 a4sa4001 解：由定义得 a2000 la21000 D=a 10 +-"2a a1100 0201 a010 =a11a22-a12021。 a400 a001 4.证明 1111 (2)a b c=(a+b+cH(a-bXa-cX(c-b): a b c

第一章 部分习题及解答 1．求下列行列式中元素 12 31 33 a ,a ,a 的余子式和代数余子式。 （2） 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a 解： 12 a 的余子式 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M  和代数余子式 4 1 4 3 4 4 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 2 4 1 2 1 2 ( 1) a a a a a a a a a A    ， a31 的余子式 42 43 44 22 23 24 12 13 14 31 a a a a a a a a a M  和代数余子式 4 2 4 3 4 4 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 3 1 3 1 ( 1) a a a a a a a a a A    ， a33 的余子式 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 a a a a a a a a a M  和代数余子式 4 1 4 2 4 4 2 1 2 2 2 4 1 1 1 2 1 4 3 3 3 3 ( 1) a a a a a a a a a A    。 2．用行列式的定义计算行列式 （5） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 43 44 41 42 31 32 21 22 11 12 a a a a a a a a a a 解：由定义得 1 1 2 2 1 2 2 1 4 3 4 1 3 1 2 1 1 2 1 2 4 4 4 2 3 2 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D  a      。 4．证明 （2） ( )( )( )( ) 1 1 1 3 3 3 a b c a b a c c b a b c a b c       ；

|x-10.0 0 0x-1.00 (4)::: =x”+ax+.+an-x+an。 000.x-1 ana-lan-2.a2x+a 证明(2)：将行列式的第一列乘以-1加到第二、三列，得到 100 nb-a c-a 左式ab-ac-ab-c2-a =(b-a(c3-a2)-(c-ab3-a3) a b-a c-a =右式。 (4)方法一：将行列式按第一列展开，得到 D=a+xD=a+x(a+xD2)+. =a,+a+a2++D,而D,-,x+a |x-1 =x2+ax+a x-10.00 0 -1.0 0 所以：：： ::=x"+ax-+.+anx+an。 000.x -1 a。aa-2.a2x+a 5.解方程 111. 11-x1.1 112-x. 1=0。 11 1.n- 11 1 . 1 0-x0. 0 解：因为行列式=001-x 0 =-x1-x2-x).(n-1-x)=0, 0 0.n-l- 所以，方程的解为x=0,x2=1为=2.，x=n-1。 6.计算下列行列式的值

（4） n n n n n n n x a x a x a a a a a x a x x x              1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0           。 证明（2）：将行列式的第一列乘以 -1 加到第二、三列，得到 左式= ( )( ) ( )( ) 1 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 b a c a c a b a b a c a b a c a a b a c a a b a c a r                =右式。 （4）方法一：将行列式按第一列展开，得到 Dn  an  xDn1  an  x(an1  xDn2 )  1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , x a x a a x a x a a x a x x D D n n n n                而 ， 所以 n n n n n n n x a x a x a a a a a x a x x x              1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0           。 5．解方程 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 `     n x x x          。 解：因为行列式 (1 )(2 ) ( 1 ) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1             x x x n x n x x x           ， 所以，方程的解为 x1  0, x2 1, x3  2,  , xn  n 1 。 6．计算下列行列式的值

311 (3) 131 13 1113 61111111 解：原式 6311 1311 111p0g 0200 6131=631=602 =6020=48。 611311130002 002 1-a a 00 01 -11-aa 0 0 (5)0-11-a a 0: 0 0 -11-aa 0 00-11-a 解：按第一列展开，得D=(1-a)D,+aD =[1-a)2+aD3+a1-a)D2 =1-a1+a2)D2+a1-a+a2)D =1-a1+a2)-a)2+ad+a1-a+a21-ad） =1-a+a2-a3+a-a 0 a3.a-an 0 (7) (n为奇数)片 a-am-a.0 -a1。 -aw.-a-n 0 解：D=D=(-l)D。∴Dn=0。 111.11 120.00 (8) 03.00 100n-10 100.0m 解：把第二列乘以-。加到第一列，把第三列乘以-加到第一列，.，把第 列秦以-日加到第一列，得

（3） 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 ； 解：原式= 48 0 0 2 0 2 0 2 0 0 6 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 6 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 6 6 1 1 3 6 1 3 1 6 3 1 1 6 1 1 1     。 （5） a a a a a a a a a          0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ； 解：按第一列展开，得 5 4 3 D  (1a)D  aD 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 (1 )(1 )[(1 ) ] (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) [(1 ) ] (1 ) a a a a a a a a a a a a a a a D a a a D a a D a a D                           （7） ( 为奇数)； 0 0 0 0 1 2 3 1, 1, 1 2, 1 3, 1 1, 1 2 2 3 2, 1 2 1 2 1 3 1, 1 1 n a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n                          解：   (1) n  n  0 T n Dn Dn D D 。 （8） ; 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 n n             解：把第二列乘以 2 1  加到第一列，把第三列乘以 3 1  加到第一列，.，把第 n 列乘以 n 1  加到第一列，得

,111 11.1 20.00 0 03.0 :ξ. -月g吉23a-m=-分5月 -23“1 0 00.n-10 0 00.0n 注：该题目类型也是非常见的，好多行列式可以先转换为该类型，在进行计 算，如习题6(4)，6(6)等。 1a-10.00 ax a-1.00 (10)ar2ara.00 ar"ax-1 ax"-2.axd 解：把第r1列乘以加到第n列，第m2列乘以加到第ml列，把第 a 1列乘以上加到第2列，得 a a 0 0 0 a+x 0 0 lax? ax+x2 a+x .00=a-(a+x)-。 ax"axl+x"ax"2+x".ax+x2a+x 7.用克拉默法则求解下列方程组 x+x2+.+xn=1 ax1+ax,+.+ax。=b (6) +++ax=b2 a"-+a,"x2+.+an"xn=b 解：

) 1 3 1 2 1 ) 2 3 ( 1) !(1 1 3 1 2 1 (1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 n n n n n n n n                               注：该题目类型也是非常见的，好多行列式可以先转换为该类型，在进行计 算，如习题 6（4），6（6）等。 （10） 0 0. 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 ax ax ax ax a ax ax a ax a a n n n               解：把第 n-1 列乘以 a 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 a 1 加到第 n-1 列，., 把第 1 列乘以 a 1 加到第 2 列，得 1 1 2 1 2 2 2 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0               n n n n n n a a x ax ax x ax x ax x a x ax ax x a x ax a x a           。 7．用克拉默法则求解下列方程组 （6）                            1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x       。 解：

1 1. a D= a=Π(a-a,）, .a 11 1 . 1 b D,=b2 =a-b)a-a): ba5.ag 11 1.1 1 .1 a .ba .a。 .D=a a . b2 a.a(n≥k≥2)， anag.bma.a 由克拉默法则，得 (b-ab-a2)(b-a-a1-b)(a2-b).(a,-b) 玉号=a-aa-a-la-g-a4-4g-4-g-g0ss 10.问1取何值时，齐次方程组 [(5-2)x+2x2+2x1=0 2x,+(6-元)x2=0有非零解？ 2x+(4-A)x3=0 5-222 解：26-10=(6-6-4-)-4(6-)-4(4-)=0， 204-2 1=2,5,或8时，方程组有非零解

( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 i j n i j n n n n n n a a a a a a a a a a a D                   ， ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 i j n i j i i n n n n n n a b a a b a a b a a b a a D                     ， ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1           n k a a b a a a a b a a a a b a a D n n n k n n n k n k n k               ， 由克拉默法则，得 (1 ). ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 k n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a b a b a b D D x k k k k k k k k n k k k k k n k                           10．问  取何值时，齐次方程组 有非零解？                2 (4 ) 0 2 (6 ) 0 (5 ) 2 2 0 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x    解： (5 )(6 )(4 ) 4(6 ) 4(4 ) 0 2 0 4 2 6 0 5 2 2                      ，    2,5,或8 时，方程组有非零解