银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第四章 不定积分

银川能源学院《高签激学》救朱 第四章不定积分 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设)有原函数F(0),=x),且(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 d Fldx)l=d F(u)=F'(u)du=F'[dx)]ddx)=F'ldx)lo(x)dx, 所以 F'Tax)]o(x)dx=F'ldx)]dox)=F'(u)d u=d F(u)=d Fld(x)] 因此 JFTo(x)p'(x)dx=FTo(x)lo(x) =∫F'(u)du=∫dFw=∫dFLo(x]=Fo(x+C. 即 ∫fIox)p'(xdt=ff几oax)ho)=可fu)dlw=oa =[FW+Cqu==F凡Lx+C. 定理1设w具有原函数，=x)可导，则有换元公式 ∫f几ox)p'(x)d=f几opx)ox)=Jfu)du=Fu)+C=FLox]+C· 被积表达式中的dk可当作变量x的微分来对待，从而微分等式p(x)d=du 可以应用到被积表达式中. 在求积分∫gx)时，如果函数gw)可以化为gx)上几x]px)的形式，那么 ∫gx)dk=j/几o(x)o'x)dk-可fu)dtlu=p 例1.∫2cos2xdr=∫cos2x(2x)d=∫cos2xd(2x) =[cosudu=sinu+C=sin 2x+C. 例2J3+2=32x3+2=32x46+2 ==nl+c=n3+2*c 例3.∫2xedk=∫e(x2ydk=∫edex2)=e'd =e"+C=e+C. 例4小i-平=i-2yd=-2 =d0-r）=-w=+c =0-2+c 例5jmh==-c0 dh=-ilul+C =-In]cos x+C. 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 6 页 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设 f(u)有原函数 F(u) u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x) ]d F(u)F (u)d u F [(x) ] d(x) F [(x) ](x)d x  所以 F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x) ] 因此   F[(x)](x)dx  F[(x)]d(x)    F(u)du  dF(u)   dF[(x)] F[(x)]C  即 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f x d x f           [F(u) C] u  (x)  F[(x)]C 定理 1 设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式    f[(x)](x)dx f[(x)]d(x) f (u)duF(u)CF[(x)]C  被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待 从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中 在求积分  g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x) f[(x)](x)的形式 那么  g(x)dx ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f          例 1.   2cos2xdx  cos2x(2x)dx   cos2xd(2x)   cosudu sinuC sin 2xC  例 2. x dx x dx x        (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1     (3 2 ) 3 2 1 2 1 d x x dx u C u     ln | | 2 1 1 2 1  ln |32x|C 2 1  例 3.     xe dx  e x dx  e d x  e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e C e C u x     2  例 4. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 2 1 x 1 x dx x x dx x dx            x d x   u du  u2 C 3 2 1 2 2 3 1 2 1 1 (1 ) 2 1   x 2 C 3 2 (1 ) 3 1  例 5.      d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan du u C u     ln | | 1 ln|cos x|C 

银川能源学院《高签激学》教塞 第四童不定积分 即∫tanxdx=-InIcosx+C. 类似地可得∫cotxdx=Inlsinx+C. 熟练之后，变量代换就不必再写出了. 例6= a21+(2 =1f1 dx=larctan+C. a1+(x a a 即 a a 例7.jeh=afeh倍=ash后+C. aa 例8.当a>0时， a 即 ∫=csmC 例9j。=。=aa的 -2alx-adx-a-JxtaM-al =mlr-a-hx+a-c=六nlc. 'xta 即 xta 资9 例10.∫一 dx -jhH+2hxl+C. 例1.-2w--听w =号C. 含三角函数的积分： 例12.∫sin3xdk=Jsin2 x.sinxdx=-∫0-cos2 w)dcosx =-fdcosx+fcosxdcosx=-cosx+cosx+C. 例13.jsin2 xcos xdx=∫sin2 xcos'xdsinx 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 7 页 即  tan xdxln|cosx|C  类似地可得  cotxdx ln |sin x|C  熟练之后 变量代换就不必再写出了 例 6. dx a a x dx a x      2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a a x d a a x      arctan 1 1 ( ) 1 1 2  即 dx a x   2 2 1 C a x a  arctan  1  例 7. C a x a a x d a x dx a a x      ch ch sh  例 8. 当 a0 时,      dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x      arcsin 1 ( ) 1 2  即 dx a x   2 2 1 C a x arcsin   例 9.        dx a x a x a dx x a ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 ] 1 1 [ 2 1       dx x a dx a x a ( )] 1 ( ) 1 [ 2 1         d x a x a d x a a x a x a x a C a  [ln|  |ln|  |] 2 1 C x a x a a     ln | | 2 1  即 dx x a   2 2 1 C x a x a a     ln | | 2 1  例 10.          x d x x d x x x dx 1 2ln (1 2ln ) 2 1 1 2ln ln (1 2ln )  ln |12ln x|C 2 1  例 11.    dx  e d x  e d x x e x x x 3 3 2 2 3 3 3 e C x   3 3 2  含三角函数的积分 例 12.   sin xdx  sin xsin xdx 3 2   (1cos x)d cosx 2    d cosx cos xd cosx 2  x xC 3 cos 3 1 cos  例 13.   sin xcos xdx  sin xcos xd sin x 2 5 2 4

银川能源学院《高签激学》救案 第四童不定积分 =[sin2x(1-sin2x)2dsinx =[(sin2x-2sinx+sinx)dsinx =nx-snx+nx4C 例14 feo=j小Hg2k=+eo2 -f+fc0s2x2xx+sin2x+C. 15.fcos'xds=f(cos x)dx=(+cos2x)Fdx -if(1+2cos2x+cos2xX =f0停+2cos2r+5cos4xk x2 sind):C 81 例16.jcos3rcos2d=2eosx+cos5x达 -zsinx+1osinSx+C. 10 例17.jecd-s品=小2女 2sn5c0s号 em吃.nm3 C--otxC. = tan cos 2 tan 即 [cscxdx =In csc x -cot x +C. 例18.∫scc=csc6+=-injese(+-cot+I+C =In |sec x+tanx+C. 即 [secxdx =In |sec x+tanx+C. 二、第二类换元法 定理2设x=)是单调的、可导的函数，并且o(0≠0.又设f[(O]o()具 有原函数F),则有换元公式 jfx=∫f几o0p'0d=F0=Flo-(x+C. 其中=p'(x)是x=(t)的反函数. 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 8 页   sin x(1sin x) d sin x 2 2 2   (sin x2sin xsin x)d sin x 2 4 6  x x xC 3 5 7 sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1  例 14. dx x xdx     2 1 cos2 cos2 ( cos2 ) 2 1    dx xdx    dx cos2xd2x 4 1 2 1  x sin2xC 4 1 2 1  例 15. xdx x dx 4 2 2 cos (cos )       x dx 2 (1 cos2 )] 2 1 [   (12cos2xcos 2x)dx 4 1 2    x cos4x)dx 2 1 2cos2 2 3 ( 4 1  x x sin4x)C 8 1 sin2 2 3 ( 4 1  x x sin4xC 32 1 sin2 4 1 8 3  例 16.   x xdx  (cosxcos5x)dx 2 1 cos3 cos2  x sin5xC 10 1 sin 2 1  例 17.    dx x xdx sin 1 csc   dx x x 2 cos 2 2sin 1 C x x x d x x x d       | 2 ln |tan 2 tan 2 tan 2 cos 2 tan 2 2 ln |csc x cot x |C  即  cscxdx ln |csc x cot x |C  例 18.   xdx x )dx 2 sec csc(   x  x )|C 2 ) cot( 2 ln |csc(   ln |sec x  tan x |  C 即  sec xdx ln |sec x  tan x |  C 二、第二类换元法 定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设 f [(t)](t)具 有原函数 F(t) 则有换元公式 f x dx f t  t dtF t F x C    ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1     其中 t (x)是 x(t)的反函数