例 在闭区间可[0，]上由关系 f(x)= sx<1-1 T,neN. 1 当x=1 定义的函数不减，且在每个形如)(n∈N,)的点处间断
例 1 [0,1] 1 1 1 1 , 1 1 , ( ) 2 2 2 1, 1 1 2 n n n n x n f x x n 在闭区间 上由关系 当 当 定义的函数不减，且在每个形如 的点处间断
例 D(x)= 0 x∈R\Q 1, x∈Q 上述函数不可积，因为下和总为0，上和总为1
例 0, ( ) 1, x D x x \ ， 上述函数不可积，因为下和总为0,上和总为1
例 (x)= x=”∈Q(m,n是既约分数) n 0,x∈R1Q 在任何区间a,b]cR上可积，因为其间断点为全体有理数点
例 1 , , ( ) 0 \ , m x m n x n n x a b 是既约分数 ， 在任何区间 上可积，因为其间断点为全体有理数点 R
积分的基本性质 如果f,g∈[a,b],则Ha,B∈R,则axf+Bg,g∈[a,b], 且∫(af+Bgk=ai+Bgdx 如果f,g∈[a,bfx)≤g(cx).x∈[a,b,则f≤gd 如果∈[a,则fe[a,,且成立心≤ 如果f在区间1上可积，a,b,c∈I,则f在的任一闭子空间上可积， 且町fd=i体+fdk
积分的基本性质 , [ , ] [ , ] b b b a a a f g a b f g fg a b f g dx fdx gdx 如果 ，则 , , 则 , ， 且 R R , [ , ] ( ) ( ), [ , ] b b a a f g a b f x g x x a b fdx gdx 如果 R ， ，则 [ , ] [ , ], b b a a f a b f a b fdx f dx 如果 R R ，则 且成立 , , , b c b a a c f I a b c I f I f dx fdx f dx 如果 在区间 上可积， 则 在 的任一闭子空间上可积， 且
积分的基本性质的证明 如果f∈[a,b,则o(f)≤o(f),由定义立即得到f的可积性。 若c在(a,b)内，由于f在a,b]上可积，根据定义，任意分割区间 [α，b]所作的积分和式都趋于同一个数，因此可以始终把c作为一 个分点，即：∑f(5,)△x=∑f5)△x+∑f(5,)△x abl [a,c] c,b1 若c在(a,b)外，不妨设a<b<c,则利用 ∑f传，)A年=∑f(5,)△x+∑f(5,)Ax可得 [ab b.c
积分的基本性质的证明 如果f a b f f f R [ , ] , ，则 k k 由定义立即得到 的可积性。 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] , [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) i i i i i i a b a c c b i i i i i i a c a b b c c a b f a b a b c f x f x f x c a b a b c f x f x f x 若 在 内，由于 在 上可积，根据定义，任意分割区间 所作的积分和式都趋于同一个数，因此可以始终把 作为一 个分点，即： 若 在 外，不妨设 ，则利用 可得