连续函数的可积性 如果函数f(x)在区间可[a,b]上是连续的，则函数f(x)可积 证明：f在[a,b]上连续，∴f在[a,b]上一致连续，从而 e>0,3δ>0，x",x2e1,当x0-x<6,有fx")-fx2<8 [a,b]的一个分割△：a=x<x<…<xm1<x,=b,max{A}<6, 由闭区间连续函数性质知□”，2∈[x,x],使得 f5）-M:ef.f)=m/ 从而o=f(5"）f(52)<,k=1,2,…,n 故当mxK时20，<2=c6-),从而f可积
连续函数的可积性 如果函数f x a b f x ( ) [ , ] ( ) 在区间 上是连续的，则函数 可积 1 (1) (2) (1) (2) (1) (2) 0 1 1 1 (1) (2) 1 (1) (2) , [ , ] [ , ] 0, 0, , , , ( ) ( ) [ , ] ,max , , , , sup , in k k n n i i n k k k k k k k k x x f a b f a b x x I x x f x f x a b a x x x x b x x x f M f f m 证明： 在 上连续， 在 上一致连续，从而 当 有 的一个分割 ： 由闭区间连续函数性质知 使得 1 , (1) (2) 1 1 1 f , 1,2, , max , k k x x k k k n n i k k k i n k k f f f k n x x x b a f 从而 故当 时， 从而 可积
例 用定义计算积分∫x 解k=2- =lim∑=lim。 a-2mD--动 n→on 6 3
例 1 2 0 x dx 用定义计算积分 2 1 2 2 3 0 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 ( 1) (2 1) 1 1 1 lim lim lim 1 6 3 2 3 1 3 n n n n i i n n n n i i x dx i n n n n n n i n n n n 解：
单调函数的可积性 [a,b]上的单调有界函数f(x)可积 证明：不妨设f是递增函数，若f()=f(b),f是常值函数显然可积。 若f(a)≠f(b),ε>0，取6= 。一，对于[a,b]的一个分割△： f(b)-f(a) a=<x<<xn-<x,=b,只要max{△x}<6,便有 0<2@Ax=2(M,-m)A=2(/(c)-f(c》Ax ≤δ∑(f()-f(.》=6(f6)-fa)=E
单调函数的可积性 [ , ] ( ) a b f x 上的单调有界函数 可积 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ( ) ( ) , max , 0 ( ) ( ) n n i i n n n n i i i i i i i i i i i n i i i f f a f b f f a f b a b f b f a a x x x x b x x M m x f x f x x f x f x f b f a 证明：不妨设 是递增函数，若 ， 是常值函数显然可积。 若 ， ，取 对于 的一个分割 ： 只要 便有
零测度 Vε>0，存在集合E的由最多可数个开区间组成的覆盖{I}, 小s,则称矣合Ec有零测度或称它是个零测度朱 k=
零测度 1 0, , , k k k E I I E 存在集合 的由最多可数个开区间组成的覆盖 则称集合 有零测度或称它是一个零测度集
间断函数的可积性(Lebesgue) 定义在闭区间a,b]上的有界函数f在区间[a,b]上可积 台 的不连续点构成的集合的测度为0
间断函数的可积性（Lebesgue） [ , ] [ , ] 0 a b f a b f 定义在闭区间 上的有界函数 在区间 上可积 的不连续点构成的集合的测度为