2maAy, ≤F(s)= J" (e, y)dy≤≥MuAyr,k=1k=1(2)22mAy,Ax, =2F(6)4x, ≤22MikAyAx-i-1i-1 k=1i=1 k=-l其中△x, =x,-xi-1,记△,的对角线长度为d;,和|T=max diki,k由于二重积分存在，由定理21、4，当T→0时,ZmikAy;△xi,k
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) , ( ) s s d ik k i i ik k c k k r s r r s ik k k i i ik k i i k i i k m y F f y dy M y m y x F x M y x = = = = = = = = (2) → = − − = i k i k k i i k i k i i i i k i k T m y x x x x d T d , , 1 21 4 0 . | | max 由于二重积分存在，由定理 、，当 时， 其中 记 的对角线长度为 和
ZMiAy;△x，有相同的极限,且极限值等于[[ f(x,y)doi,kD因此当T|→0时，由不等式（2）可得：Z F(e,)Ax, = JJ f(x, )do.(3)lim11-0i=1D由于当|T→0时，必有 max△x,→0,因此由1≤i≤r定积分定义，（3）式左边lim≥F(e,)Ax, = T' F(x)dx = J'dx]" f(x,y)dyT→>0
, 0 1 ( , ) 0 2 lim ( ) ( , ) .(3) ik k i i k D r i i T i D M y x f x y d T F x f x y d → = → = ，有相同的极限，且极限值等于 因此当 时，由不等式（ ）可得： 1 0 1 0 max 0, 3 lim ( ) ( ) ( , ) i i r r b b d i i T a a c i T x F x F x dx dx f x y dy → = → → = = 由于当 时，必有 因此由 定积分定义（，）式左边
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个ye[c,d],积分, f(x, y)dx存在，则累次积分"dy" f(x,y)dx也存在, 且[[ f(x,y)da =[" dyf, f(x, y)dxD特别当f(x,y)在矩形区域D[a,b]x[c,d]上连续时，则有[J f(x, y)do = I" dx" f(x, y)dy= f' dyf, f(x, y)dxD例1计算[[(x+y)’do,其中D =[0,1]×[0,1]D解：应用定理21.8（或21.9），有业
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 = = = b a d c d c b a D b a d c D b a d c b a f x y d dx f x y dy dy f x y dx f x y D a b c d f x y d dy f x y dx y c d f x y dx dy f x y dx ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] [ , ] ( , ) ( , ) [ , ], ( , ) ( , ) 特别当 在矩形区域 上连续时，则有 也存在，且 积分 存在，则累次积分 2 1 ) , [0 1] [0 1] 21.8 21.9 D x y d D + = 例 计算（ 其中 ， ，。 解：应用定理 （或 ），有
x71(x+1)3Jf f(x, y)do= f, dxf(x+y)dy=-]dx =6330称平面点集D=((x,y)/ yi(x)≤y≤y2(x),α≤x≤b)(4)yydd=(x)x=x(y)Dx=x(y)Dc(aly=y(a)Cxbx0a0(b)为x型区域（图a),称平面点集(5)D=(x,y)/x(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d)为y型区域 (图b)
1 2 称平面点集D x y y x y y x a x b = {( , ) | ( ) ( ), } 4 （ ） y d y a x b c d D ( ) 1 y = y x o (a) 为x型区域（图a),称平面点集 c D o x ( ) 1 x = x y ( ) 2 x = x y (b) D x y x y x x y c y d = { , ) | ( ) ( ), } 5 1 2 （ ） 为y型区域 (图b) 2 y y x = ( ) 3 3 1 1 1 2 0 0 0 ( 1) 7 ( , ) ( ) [ ] 3 3 6 D x x f x y d dx x y dy dx + = + = − =
定理2110若f(x,y)在如（4）式所表示的x型区域上连续其中yi(x),y2(x)在[a,b]上连续，则J f(x,y)do =f' dx r() f(x,y)dy.V(XD即二重积分克化为先对y，后对x的累次积分证：由于yi(x),y2(x)在闭区间[α,b]上连续，故总在矩形区域[a,b]×[c,d]2 D (如图a),现作一定义在[a,b]x[c,d]上的函数。f(x, y),(x,y)eDF(x,y) =T0,(x, y) @ D
即二重积分克化为先对 ，后对 的累次积分 其中 在 上连续，则 定理 、 若 在如（ ）式所表示的 型区域上连续， y x f x y d dx f x y dy y x y x a b f x y x y x y x b a D = ( ) ( ) 1 2 2 1 ( , ) ( , ) . ( ), ( ) [ , ] 21 10 ( , ) 4 1 2 ( ), ( ) [ , ] [ , ] [ , ] ( ), [ , ] [ , ] y x y x a b a b c d D a a b c d 证：由于 在闭区间 上连续，故 总在矩形区域 如图 现作一定义 在 上的函数。 F(x, y) = f (x, y),(x, y) D, 0,(x, y) D