曲面积分第二十二章第一节第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义一 讠设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数。对曲面S作分割，它把S分成n个小区面块 S,(i=1,2,·n以△S,记小曲面块‘S 的面积，分割T的细度|T=max(S,的直径在's 上任取一点(sj,ni,5,)i=1,2,.,n)，若极限im.2(e,n,5)As,T→(
第二十二章 曲面积分 第一节 第一型曲面积分 一、第一型曲面积分的概念 定义一 设S是空间中可求面积的曲面， f (x, y,z) 为定义在S 上的函数。对曲面S作分割，它把S分成n个小区面块 S (i n) i =1,2, 以 Si 记小曲面块 的面积，分割T的细度 i S i 的直径 i n T S = 1 max 在 上任取一点 ， i S ( )(i n) i i i , , =1,2, , 若极限 ( ) = → n i i i i i T f S 1 0 lim , ,
(0)存在且与分割T和(s,ni,5)(i=1,2,..,n)的取法无关则称此极限为f（x,y,z)在S上的第一型曲面积分记作(1)JJ f (x, y,=)ds3于是前面讲到的曲面块的质量可利用第一型曲面（1）积分求得。特别地，于(x,y,)=时，曲面积分『。dS就S是曲面块S的面积
( )( ) ( ) ( ) ( ) , , 1,2, , , , , , 1 i i i s T i n f x y z S f x y z dS = 存在且与分割 和 的取法无关， 则称此极限为 在 上的 记作 于是前面讲到的曲面块的质量可利用第一型曲面 (1) 积分 求得。 , , 1 ( ) s f x y z dS S 特别地， 时，曲面积分 就 是曲面块 的面积。 第一型曲面积分 (1)
二、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S: z = z(x,y),(x, y)eDf(x,y,z)为S上的连续函数，则[ f(x, y,z)= [ f(x, y,z(x, y,)/1+z, +z, dxdy>(2)DD
二、第一型曲面积分的计算 定理22.1 设有光滑曲面 S :z = z(x, y),(x, y)D, f (x, y,z)为S上的连续函数，则 ( ) ( ( )) 2 2 , , , , , , 1 2 x y D D f x y z f x y z x y z z dxdy = + + （ ）
dsrds,其中S是球面例1计算2+2＋z2=α2被平面z=h(O<h<α)所截的顶部(图1)Zh0yX图1
例 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0 1 . s dS S z x y z a z h h a + + = = 计算 其 中 是 球 面 被 平 面 所 截 的 顶 部 图 h x o y z 图 1
解曲面S的方程为z=Va2-x?17定义域为圆域：x2＋2≤α2-ha由于+2-x-y所以有公式（2）求得dsadxd21-x
解 曲面S的方程为 , 2 2 2 z = a − x − y 定义域为圆域： 由于 2 2 2 2 2 1 x y a z z a x y + + = − − 所以有公式（2）求得 − − = s D dxdy a x y a z dS 2 2 2 2 2 2 2 x y a h + −