《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十二章 曲面积分 第三节 高斯公式与斯托克斯公式

S3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广。格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系；高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之问的关系；斯托克斯公式建立了空问曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之问的关系

§3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系

一、高斯公式二、斯托克斯公式

一、高斯公式 二、斯托克斯公式

一、高斯公式设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲定理22.3面S围成.若函数P,O,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则aRapaodxdydzdyOzax$f Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ,(1)其中S取外侧.（1）式称为高斯公式

一、高斯公式 定理22.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲 面 S 围成. 若函数P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连 续偏导数, 则 d d d V P Q R x y z x y z      + +         d d + d d + d d , (1) S = P y z Q z x R x y  其中S 取外侧.(1) 式称为高斯公式

aRJdb Rdxdy.读者可类似dxdydz =证下面只证OzZs证明其余两式：apdxdydz = df Pdydz ,axVsaTdxdydz = $f QdzdxJayVs这些结果相加便得到高斯公式（1)先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面S, : z= z,(x,J), (x,y) e D(m)

证 下面只证  =    d d d d d . V S R x y z R x y z 读者可类似 d d d d d , V S P x y z P y z x  =     =    d d d d d . V S Q x y z Q z x y 这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S 由曲面 证明其余两式: 1 1 ( ) : ( , ), ( , ) , S z z x y x y D =  xy

S, : z=z2(x,y), (x,y)eD(w) *SZ及垂直于 D(x) 的柱面 S3S3组成（图22-7），其中Zi(x,y)≤zz(x,y) .SOyD(xy)于是按三重积分的计算方.法,有图 22 - 7aRz2(x,y) R川dxdydxdydzdz7=OzJzi(x,y) OzVD(xy)

及垂直于 D( ) xy 的柱面 S3 组成(图22-7), 其中 z x y z x y 1 2 ( , ) ( , ) .  于是按三重积分的计算方 2 1 ( ) ( , ) ( , ) d d d d d d xy z x y z x y V D R R x y z x y z z z   =      2 2 ( ) : ( , ), ( , ) , S z z x y x y D =  xy 法,有 图22 7 − x y z O S2 S1 S3 D( ) xy