《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分

第二十章曲线积分S1第一型曲线积分

第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分

一、第一类型的曲线积分的概念1.定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y)在L上有界.用L上的点Mj,M2,,Mn-,把L分成n个小段.设第i个小段的长度为As,又(S;,n;)为第个小段上任意取定的一点yB作乘积f(Si,n;)△s;Mn-1(ntMM,并作和f(S;,n;)·△s;Mi-MAi=1x1

( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = −            n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数  1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i  L 一、第一类型的曲线积分的概念

如果当各小弧段的长度的最大值入→0时这和的极限存在 则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作[,f(x,y)ds, 即Zf(5,n,) ·As,.[, f(x,y)ds = lim2一01

( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1  0  = → =      → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时

2.存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分[,f(x,y)ds存在3.推广函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的曲线积分为f(x,y,z)ds=limEf(Sr,niS).As,20i1

2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds =  f  s  =  →    

注意：1. 若 L(或I)是分段光滑的，(L=L,+L,)f(x,y)ds=Jf(xy)ds+Jf(x)ds2． 函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为,f(x,y)ds

注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2    = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的