《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第一节 重积分的概念

三、二重积分的性质1 、若f(xy)在区域D上可积，k为常数，则kf(xy)在D上也可积且[ kf(x,y)do = k[ f(x,y)doDD2 、若f(x,y),g(xy)在 D 上可积，则f(x,y)+g(x,y)在 D 上也可积, 且[[f(x,y)+g(x, y)]dg = JJ f(x, )do + J g(x,y)doD/D3、若f(x,y)在D,和D2上都可积，且D、D,无公共内点。则f(x,)在D UD2上也可积，且[f f(x,y)do = ] f(x, y)do + [[ f(x,y)doD,UD2DD

三、二重积分的性质 １、若f(x,y)在区域Ｄ上可积，k为常数，则kf(x,y)在Ｄ上 ( , ) ( , ) . D D 也可积且  kf x y d k f x y d   = ２、若f(x,y),g(x,y)在Ｄ上可积，则f(x,y)+g(x,y)在Ｄ上也可 [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . D D D f x y g x y d f x y d g x y d    − + = + 积，且   3、若f (x, y)在D1 和D2 上都可积，且D1 、D2 无公共内点。 则f (x, y)在D1 D2上也可积，且    = + 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) . D D D D f x y d f x y d f x y d    

4、若f(x,y)与g(x,y)在D上可积,且f(x,y)≤g(x,y),(x,y) e D,则[f f(x, y)do ≤ JJ g(x, y)do.DD5、若f(xy)在D 上可积，则函数f(x,y)/在D 上也可积，且I JJ f(x, y)do< JjI f(x, y) / doDD6 、若f(xy)在D上可积，且m≤f(x,y)≤ M,(x,y)ED)则 mS, ≤[[ f(x,y)do≤ MS,D这里S,是积分区域D的面积

4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),( , ) , 、若f x y g x y D f x y g x y x y D 与 在 上可积，且      D D 则 f (x, y)d g(x, y)d. ５、若f(x,y)在Ｄ上可积，则函数|f(x,y)|在Ｄ上也可积，且    D D | f (x, y)d | | f (x, y)| d. ６、若f(x,y)在Ｄ上可积，且 ( , ) D D D mS f x y d MS    则  。 m f x y M x y D    ( , ) ,( , ) , 这里SD 是积分区域D的面积

7（中值定理）若f(xy)在有界闭区域D上连续，则存在(s,n) e D,使得[[ f(x,y)do = f(s,n)SpD这里S,是积分区域D的面积

７（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在 ( , ) , ( , ) ( , ) D D       = D f x y d f S 使得 ， 这里S D D 是积分区域 的面积

2、直角坐标系下二重积分的计算定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个x e[a,b],积分[~ (x, y)dy存在，则累次积分~dx[。 f(x,y)dy也存在,且[[ f(x, y)do=[~dx[~ f(x,y)dy. (1)D证：令F(x,y)=["f(x,y)dy,定理要求证明F(x,y)在[a,b]上可积,且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间[a,b] [c,d]分别作分割 α= x <x, <...<x, =b,c= y<.….<y, =d。按这些

2、直角坐标系下二重积分的计算 定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 [ , ], ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 d b d c a c b d a c D x a b f x y dy dx f x y dy f x y d dx f x y dy   =       积分 存在，则累次积分 也存在，且 （ ） 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] , [ , ] [ , ] , d c r s F x y f x y dy F x y a b a b c d a x x x b c y y d = =    = =   = 证：令  ，定理要求证明 在 上可积 且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间 分别作分割 。按这些

分点作直线x = x,(i =1,2,·.·,r -1)及y= yr(k = 1,2,·.·s-1)它把矩形D分为rs个小矩形（如图）记△为小矩形[x,-1,x,]*[yk-1, y,](i = 1, 2, ...r, k = 1, 2, ...s); 设f(x, y)在,上的上确界和下确界为M,和mi.在区间[xi-1,x,}中任取一点s,于是就有不等式miAy,≤f(s,y)dy≤MikAyko其中△yk = Yk - Yk-1°yt因此dC+Xa

它把矩形D分为rs个小矩形（如图） x y a b c d ( 1,2, , 1) ( 1,2, 1) i k 分点作直线x x i r y y k s = = − = = − 及 1 1 [ , ] [ , ]( 1,2, , 1,2, ); i i k k x x y y i r k s − −  = = 1 . [ , ] 上的上确界和下确界为M m x x ik ik i i 和 在区间 − 中任取一 1 , ( , ) k k y i ik k i ik k y   m y f y dy M y −     点 于是就有不等式  。 k k k 1 y y y 其中 = − − 。 因此 记ik为小矩形 ( , ) ik 设f x y 在