则在D内u,v为常数，从而f()在D内为常数(2)由Ref(=)在D内为常数，故器=%=0，已知(-)在==0，则在D内u,v为常区域D内解析，由C-R方程可知歌oy数，从而f(-)在D内为常数同理，由Imf(=)在D内为常数，可证f(=)在D内为常数(4）设f(=)=u+iv,因为f()在D内为解析，所以u=QuOvavL=-(1)axayaxay因f()=u-iv在D内为解析，所以a(-v)a(-v)Ou=Qu=-(2)axdyaxay由（1）和（2）式得：Ou_ ou_oy_OV=0axayaxay故f(=)在D内为常数.本节重点掌握：（1）复变函数解析与可导的关系；（2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解.（3）函数在哪一点不满足C-R方程，函数在那一点不可微函数在哪个区域不满足C-R方程，函数在那个区域不解析11
11 则在 D 内 u, v 为常数，从而 f (z) 在 D 内为常数. (2) 由 Re f (z) 在 D 内为常数，故 = = 0 y u x u ，已知 f (z) 在 区域 D 内解析，由 C − R 方程可知 = = 0 y v x v ，则在 D 内 u, v 为常 数，从而 f (z) 在 D 内为常数. 同理，由 Im f (z) 在 D 内为常数，可证 f (z) 在 D 内为常数. (4) 设 f (z) = u + iv ,因为 f (z) 在 D 内为解析，所以 x v y u y v x u = = − (1) 因 f (z) = u −iv 在 D 内为解析，所以 x v y u y v x u − − = = − ( ) ( ) （2） 由（1）和（2）式得 ： = 0 = = = y v x v y u x u 故 f (z) 在 D 内为常数. 本节重点掌握： （1） 复变函数解析与可导的关系； （2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是 C-R 方 程的一组解. （3）函数在哪一点不满足 C-R 方程，函数在那一点不可微. 函数在哪个区域不满足 C-R 方程，函数在那个区域不解析
82.2解析函数与调和函数的关系(The relation of analytic function and harmonic function)一、调和函数的概念（Theconceptofharmonicfunctions）定义（Definition）2.3如果二元实函数p(xy)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程△p(x,y)=0，则称g(x,y)为区域D内的调和函数调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中。定理（Theorem）2.3若f(=)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则在区域D内u(x,y)与v(x,Jy)都是区域D内的调和函数证明：因f(=)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，所以u(x,y)与v(xy)在区域D内满足C-R方程u=u=-avax-yayax在上述二式子分别对y与x求偏导数：ou=ou=-ovaxoyay2ayaxax2因为=嘉，于是有0axoyoyaxax2y?即v(x,y)是区域D内的调和函数，同理u(x,y)也是区域D内的调和函数.12
12 §2.2 解析函数与调和函数的关系 （The relation of analytic function and harmonic function ） 一、调和函数的概念(The concept of harmonic functions) 定义（Definition）2.3 如果二元实函数 (x, y) 在区域 D 内 有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 (x, y) = 0 ,则称 (x, y) 为区域 D 内的调和函数. 调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中. 定理（Theorem）2.3 若 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) 在区域 D 内 解析,则在区域 D 内 u(x, y) 与 v(x, y) 都是区域 D 内的调和函数. 证明：因 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) 在区域 D 内解析，所以 u(x, y) 与 v(x, y) 在区域 D 内满足 C − R 方程 x v y u y v x u = = − 在上述二式子分别对 y 与 x 求偏导数： 2 2 2 2 2 2 x v y x u y v x y u = = − 因为 y x u x y u = 2 2 ，于是有 0 2 2 2 2 2 2 + = − = y x u x y u y v x v 即 v(x, y) 是区域 D 内的调和函数，同理 u(x, y) 也是区域 D 内的调 和函数