《复变函数与积分变换》课程教学资源（教案讲义）第二章 解析函数（Analytic function）

5、举例(Forexample)：(1）如果()=α（复常数)），那么=0;dzdz"=1,9(2)= nz"-ldz=1,dz（3）=的任何多项式P(a)=ao+az+...+a,-"在整个复平面解析，并且有P(2)=a, +2a2z +.+na, "-（4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与=是实变量时相同三、函数解析的一个充分必要条件（Analyticfunctionsfora full)可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理（Theorem）2.1（可微的充要条件）设函数f(a)=u(x,y)+i(x,J)在区域 D 内有定义，则f(z)在点z=x+iyeD可微的充要条件是：(1) u(x,J)与v(x,J)在(x,J)处可微;(2)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处满足柯西-黎曼（CauchyRiemann）条件（简称C-R方程）证明（必要性）设f(=)在z=x+iyeD有导数α=a+b，根6

6 5、举例(For example)： （1）如果 f (z)  a （复常数），那么 0 d d ( ) = z f z ； （2） 1 d d = z z ， 1 d d − = n n nz z z ； （3） z 的任何多项式 n n P(z) = a + a z + .+ a z 0 1 在整个复平面解析，并且有 1 1 2 '( ) 2 . − = + + + n n P z a a z na z （4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解 析的，它的导数的求法与 z 是实变量时相同. 三、函数解析的一个充分必要条件（Analytic functions for a full） 可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理： 定 理 （ Theorem ） 2.1 （ 可 微 的 充 要 条 件 ） 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在 点 z = x + iy  D 可微的充要条件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处满足柯西 - 黎曼（ Cauchy￾Riemann） 条件（简称 C-R 方程） x v y u y v x u         = = − . 证明（必要性）设 f (z) 在 z = x + iy  D 有导数  = a +ib ，根

据导数的定义，当z+zED时（0）f(z+)- f()= α+o(I ) =(a+ib)(x +iy) +o(I D)其中，△z=Ax+iAy.比较上式的实部与虚部，得u(x+Ax,y+Ay)-u(x,y)=aAr-bAy+o(I-v(x+Ax,y+Ay)-v(x,y)=bAx+aAy+o(I△-D因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,J)与v(x,y)在(x,J)处可微，并且有α=a,号=-b,=b,=a即(充分性）设u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处可微，，并且有柯西-黎曼方程成立：=%=一%ay设器=a,器=b,则由可微性的定义，有：u(x+Ax,y+Ay)-u(x,y)=ax-bAy+o(l zD)v(x+△x,y+Ay)-v(x,y)=bx+ay+o(I D令=r+y，当z+D（0）时，令α=a+ib，有f(+)-f()=u+i=α+o(I D)=(a+ib)(x+iy)+o( D则有7

7 据导数的定义，当 z + z  D 时（ z  0 ） f (z + z) − f (z) =z + o(| z |) = (a + ib)(x + iy) + o(| z |) 其中， z = x + iy .比较上式的实部与虚部，得 u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z|) v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z|) 因此，由实变二元函数的可微性定义知， u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处 可微，并且有 a b b a y v x v y u x u = , = − , = ,  =        即 x v y u y v x u         = = − （充分性）设 u(x, y)与v(x, y) 在 (x, y) 处可微，并且有柯西-黎曼方 程成立： x v y u y v x u         = = − 设 a, b, x v x u = =     则由可微性的定义，有： u(x + x, y + y) − u(x, y) = ax − by + o(| z|) v(x + x, y + y) − v(x, y) = bx + ay + o(| z|) 令 z = x + iy ，当 z + z  D （ z  0 ）时，令  = a +ib ，有 f (z + z) − f (z) = u + iv = z + o(| z |) = (a + ib)(x + iy) + o(| z |) 则有

=+ 4)-() = lim(α+ ()=0limAz3Az-所以，f(z)在点z=x+iyED可微的.且说明：（1）解析函数的导数形式：2+1元一%+1岁一岁一1%%一1%f(2)= ayaxaxaxay-ay-ay（2）C-R条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件[x+*0例 2 取u(x,y)= V(x,Jy)=l 0x+y?=0令f(z)=u(x,y)+iv(x,y), 则u(x,y),v(x,y)在点(0,0)满足C-R方程：罪%=0axay但u(x,y)v(x,y)在点(0,0)不连续，所以复变函数f(z)在z=0不连续，从而f（=）在z=0不可导定理（Theorem）2.2设函数f(=)=u(x,y)+iv(x,J)在区域D内有定义，则f()在D内解析的充要条件是：(1)u(x,)与v(x,y)在D内可微；(2）u(x,y)与v(xy)在D内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程）ax推论设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则F(=)在区域D内解析的充分条件是：8

8  =   = +  +  −  →  → ) (| |) lim ( ( ) ( ) lim 0 0 z o z z f z z f z z z 所以， f (z) 在点 z = x + iy  D 可微的.且 说明：（1）解析函数的导数形式： y u y v y u x u x v y v x v x u f z i i i i                 ( ) = + = + = − = − （2）C-R 条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件. 例 2     + = +  = = + 0 0 0 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y u x y v x y x y xy 取 方程： 令 ，则 在点 满足 C R f z u x y iv x y u x y v x y − ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ), ( , ) (0,0) = = 0 = − = 0         x v y u y v x u , f ( z ) z . u( x, y ) v( x, y ) ( , ) f ( z) z 连续 从而 在 不可导 但 、 在点 不连续，所以复变函数 在 不 0 0 0 0 = = 定理（Theorem）2.2 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在 D 内解析的充要条件是： （1） u(x, y)与v(x, y) 在 D 内可微； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 D 内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann） 条件（简称 C-R 方程） x v y u y v x u         = = − 推论 设函数 f (z) = u(x, y)+iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z) 在区域 D 内解析的充分条件是：

(1)u(x,y)与v(x,y)的偏导数在D内连续(2)u(x,y)与v(x,J)在D内满足柯西-黎曼条件，简称C-R方程ax=yax例3讨论函数f()=Rez的可导性与解析性解（1）因为u=x，V=0，且=1,=0,=0,=0,O所以C-R方程在整个复平面不成立，因此w=Rez在整个复平面内处处不可导，从而不解析学生课堂讨论：讨论函数(-)=-的可导性与解析性.解()===x2+，所以u(x,J)=x2 + y2, v(x,y)=0ux=2x,u,=2y,Vx=Vy=0显然上述四个偏导在整个复平面上连续由C-R条件[2x=0[x=0(2y=0-ly=0故F(z)=只在z=0处可导，从而在复平面上处处不解析.例4讨论函数f()=ecosy+iesiny的可导性与解析性解因为9

9 (1) u(x, y)与v(x, y) 的偏导数在 D 内连续； (2) u(x, y)与v(x, y) 在 D 内满足柯西-黎曼条件,简称 C-R 方程 x v y u y v x u         = = − 例 3 讨论函数 f (z) = Re z 的可导性与解析性. 解（1）因为u = x，v = 0，且   u x =1,   u y = 0，   x v = 0，   v y = 0， , . C R w Re z 不可导 从而不解析 所以 − 方程在整个复平面不成立，因此 = 在整个复平面内处处 学生课堂讨论： 讨论函数 ( ) 2 f z = z 的可导性与解析性. 解 ( ) 2 2 2 f z = z = x + y ，所以 ( , ) , ( , ) 0 2 2 u x y = x + y v x y = ux = 2x, uy = 2y, vx = vy = 0 显然上述四个偏导在整个复平面上连续 由 C − R 条件    = =     = = 0 0 2 0 2 0 y x y x ( ) 2 故f z = z 只在 z = 0 处可导，从而在复平面上处处不解析. 例 4 讨论函数 f (z) e y ie y x x = cos + sin 的可导性与解析性 解 因为

u(x,y)=e'cosy,v(x,y)=ie"sin yu,=e'cosy,u,=-e'siny,y,=e'siny,y,=ecosy上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足C-R方程：axOxoyay所以函数f()=ecosy+ie"siny在整个复平面处处可导，故也处处解析，并且有['()-%+i%=e'cos y+ie' sin y=()axax(e-) =e'即例5设f(=)在区域D内解析，证明：若f(a)满足下列条件之一，则f(a)在D内为常数：(1)对每一个zED，有f'(=)=0(2）Ref()或Imf(z)在D内为常数（3）f（z）在D内为常数（4）F(=)在D内解析（5）f(=)恒在D内为实数（6）argf(z)在D内为常数证明注意：在区域D内，若u,=u,=v,=,=0,则在D内u,v为常数(1)由[()=α+/%=%-1%=0及0,=,=W,-→,=010

10 u e y u e y v e y v e y u x y e y v x y ie y x y x x x y x x x x cos , sin , sin , cos ( , ) cos , ( , ) sin = = − = = = = 上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足 C-R 方程： x v y u y v x u         = = − 所以函数 f (z) e y ie y x x = cos + sin 在整个复平面处处可导，故也处 处解析，并且有 ( ) e y ie y f (z) x v i x u f z x x = + =   +    = cos sin 即 ( ) z z e = e  例 5 设 f (z) 在区域 D 内解析，证明：若 f (z) 满足下列条件 之一，则 f (z) 在 D 内为常数： （1）对每一个 z  D ，有 f (z) =0 （2） Re f (z) 或 Im f (z) 在 D 内为常数 （3） f (z ) 在 D 内为常数 （4） f (z) 在 D 内解析 （5） f (z) 恒在 D 内为实数 （6） arg f (z) 在 D 内为常数 证明 注意：在区域 D 内，若 ux = uy = vx = vy = 0 ,则在 D 内 u, v 为常数 (1)由 ( ) = + = − = 0         y u y v x v x u f z i i 及 ux = uy = vx = vy = 0