$3.1基本事项31 在集合论中的子集的概念类似于数的的“小于或等于”的概念.下面的命题演 示了此事（更精确的表述见定义8.5.1）. 命题3.1.18（集合被包含关系部分地安排了次序）设A,B,C是集合.如果 A二B且BCC,则A二C.如果ACB且B二A,则A=B.最后，若AB且 B二C则ASC. 证明我们只验证第一个结论.设ASB且B≤C,为证ASC,只须证明 A的每个元素都是C的元素.于是，任取A的一个元素x,那么从A二B,知x必 是B的一个元素.但从BCC也知x是C的一个元素.于是A的每个元素确实 都是C的元素.这就是要证明的 注3.1.19在子集和并集之间有一种联系，见习题3.1.7. 注3.1.20子集关系三和小于关系<之间有一个重要的区别.给定任意两 个不同的自然数九，m,我们知道它们中的一个必定小于另一个（命题2.2.13）；但是， 给定两个不同的集合，一般说来不必其中一个是另一个的子集.例如，取A:={2: n∈N}为偶自然数的集合，而B:={2n+1:n∈N)为奇自然数的集合，则其中任 何一个都不是另一个的子集.这就是为什么我们说，集合只被部分地安排了次序， 而自然数是完全地安排了次序的（见定义8.5.1和定义8.5.3）. 注3.1.21我们还应该小心，子集关系二与元素关系∈可不是一回事.数2 是{1,2,3}的一个元素，但却不是一个子集，于是2∈{1,2,3}但2g{1,2,3}.的确， 2根本就不是一个集合.反过来，{2}是{1,2,3}的一个子集，而不是它的元素，于是 {2}二{1,2,3}但{2}{1,2,3}.问题在于数2和集合{2}是不同的对象.把集合 与它们的元素区别开来是重要的，因为它们有不同的属性.例如，可以有一个由有 限数组成的无限集合（自然数的集合就是这样的一个例子），同时也可以有一个有 限集合，其每个元素都是“由无限个对象所组成的集合”（例如有限集{N,Z,Q,R}, 它有四个元素，其中每个元素都是无限集合)： 我们现在给出一个公理，它使我们能够容易地构作大集合的子集合」 公理3.5（分类公理）设A是一个集合，并对于每个x∈A,设P(x)是一个 关于x的性质（即P(x)或为一个真命题，或为一个假命题）.那么存在一个集合叫 作{x∈A:P(x)成立}（或简写为{x∈A:P(x)}),它的元素恰恰是A中使P(x) 成立的x.换句话说，对于任何对象y, y∈{x∈A:P(x)成立}→(y∈A且P(y成立). 这个公理也叫作分离公理.注意，{x∈A:P(x)成立}永远是A的一个子集合 (为什么？)，尽管它可以大得就是A,或小得成为空集.可以验证，代入公理适用于 分类，于是，若A=A'则{x∈A:P(x)}={x∈A':P(x)}(为什么？)
32第3章集合论 例3.1.22设S:={1,2,3,4,5},则集合{n∈S:n<4}是S中的使n<4 成立的元素n的集合，即{n∈S:n<4}={1,2,3.类似地，集合{n∈S:n<7} 就是S本身，而{n∈S:n<1}是空集 我们有时写{x∈A|P(x)}代替{x∈A:P(x)}；当我们用冒号“：”来表示其 他事物时，这个写法就有用了，例如当我们用冒号表示一个函数f:X→Y的定义 域和值域时，就是这样 我们可以使用此分类公理来定义集合的其他一些运算，即集合的交与集合的 差 定义3.1.23（交）两个集合S1和S2的交S1∩S2定义为集合 S∩S2:={x∈S1:x∈S2} 换句话说，S1∩S2由全部同时属于S1和S2两个集合的元素构成，于是，对于一切 对象x x∈S∩S2←→x∈S1且x∈S2 注3.1.24注意此定义是明确的（也就是说，它遵从代入公理，见§4.7)，因为 它是借助更初始的运算来定义的，而这些初始的运算已经知道是遵从代入公理的， 类似的注释适用于本章后面的定义，并且通常将不再明确提及 例3.1.25我们有{1,2,4}∩{2,3,4}={2,4}，{1,2}∩{3,4}=②，{2,3U②= {2,3}以及{2,3}∩o=②. 注3.1.26顺便指出，我们应该小心地使用英语单词“and@,不可使它含混 地在上下文中既可指并，也可指交.例如，如果我们谈论“男孩和（and)女孩”，我 们指的是男孩的一个集合与女孩的一个集合的并，但是如果我们谈论“单身的和 (and)男的”人的集合，则指的是单身者的集合与男性人的集合的交.（你能搞出 个语法规则来确定何时“and(和)”指的是并，而何时“and(和)”指的是交吗？)另一 个问题是“and(和)”在英语中⑦用来表示加法，例如人们可以说“2and3is5②，同 时也说“{2}的元素和{3}的元素构成集合{2,3}”以及“在{2}和{3}中的元素 构成集合⑦”.这肯定会引起混淆！我们求助于数学符号来代替诸如“and”之类的 英语词汇的一个缘由，就是数学符号永远具有精确的清晰的含意，使用数学符号就 避免了必须总得小心地根据上下文来确定一个单词到底是什么意思， 两个集合A,B叫作是不交的，如果A∩B=②.注意，这与相异(distinct)可 不是同一个概念.例如集合{1,2,3}与{2,3,4}是相异的（有一个集合的元素不是 ①即中文的“和”.一译者注 ②也在汉语中.—译渚注 ③汉话为“2与3的和是5”.一译者注
$3.1基本事项33 另一个集合的元素)，但是它们不是不交的（因为它们的交是不空的集合）.同时，集 合⑦与集合⑦是不交的，但不是相异的.（为什么？） 定义3.1.27（差集）给定两个集合A和B,我们定义集合A-B或AB为 从集合A中把B中的任何元素都去掉所得的集合： A\B:={x∈A:xAB}: 例如，{1,2,3,4)1{2,4,5}={1,3.在很多情况下，B是A的子集，但并非必须如 此. 我们现在给出并、交及差集的一些基本性质！ 命题3.1.28（集合构成一个Boole代数）设A,B,C是集合，并设X是包含 A,B,C为其子集的集合 (a)(最小元)我们有AUg=A以及A∩⑦=②. (b)(最大元)我们有AUX=X以及A∩X=A, (c)(相等)我们有AUA=A以及A∩A=A. (d)(交换性)我们有AUB=BUA以及A∩B=B∩A. (e)(结合性)我们有(AUB)UC=AU(BUC),(A∩B)∩C=A∩(B∩C) ()(分配性)我们有A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)以及AU(B∩C)= (AUB)∩(AUC). (g)(分拆法)我们有AU(X\A)=X以及A∩(X\A)=⑦. (h)(De Morgan律)我们有X\(AUB)=(X\A)∩(X\B)以及X\(A∩B)= (X A)U(B). 注3.l.29 De Morgan律以逻辑学家Augustus De Morgan"的名字命名，De Morgan把这些定律确立为集合律的基本定律. 证明见习题3.1.6. ■ 注3.1.30读者可能已观察到上面在U和∩之间的算律以及在X和⑦之 间的算律有一定的对称性，这是对偶性的一个例子一两个不同的性质或者两个 不同的对象彼此对偶.在现在的情况下，对偶性是以补关系A→X\A来实现的； De Morgan律断定这个关系把并转化成交，而把交转化成并.（此关系也交换了X 和空集.)上述的算律合起来叫作以英国数学家George Boole(1815一1864)的名字 命名的Boole代数的定律，Boole代数同时也适用于许多集合之外的其他对象，在 逻辑学中起着举足轻重的作用， 我们现在已经积累了关于集合的一些公理和一些结果，但是依然还有许多事情 是我们还不能做的.对于一个集合我们想做的一件基本的事情是，从这个集合中取 ①Augustus De Morgan,1806一1871，英国人.一译者注
34第3章集合论 出每个对象来，以某种方式把它转化成另一个新的对象；例如我们可能想从一个数 的集合，例如{3,5,9}出发，增长它的每个元素而造出一个新的集合{4,6,10}.这 并不是可以直接仅仅使用我们已有的公理所能做到的事，所以我们需要一个新的 公理： 公理3.6（替换）设A是一个集合.对于任意的对象x∈A和任意的对象y, 假设有一个命题P(工，)依赖于x和y,使得对于每个x∈A存在至多一个y,使 P(x,)成立.那么存在一个集合{y:P(z,)对于某x∈A成立，使得对于任何对 象2， 之∈{y:P(r,y)对于某x∈A成立} ←→（对于某x∈A,P(x,z)成立) 例3.1.31设A:={3,5,9}并设P(x,)是命题y=x++,即y是x的后继 者.注意到对于每个x∈A,恰有一个y使得P(x,)成立一具体就是x的后继 者.于是上述公理断定集合{y:对于某x∈{3,5,9}，y=x++}存在.在此，这明 显就是集合{4,6,10}.（为什么？） 例3.1.32设A:={3,5,9}并设P(z,)是命题y=1,那么对于每个x∈ A,还是恰有一个y,使P(x,)成立-一具体地说，就是数1，此时{y:y= 1对于某x∈{3,5,9}成立}恰就是单元素集{1.我们已把原来的集合的每个元素 3,5,9都替换成了同一个对象，即1.于是这个相当没劲的例子表明，由上述公理得 到的集合可以比原来的集合“小”。 我们常把形如 {y:y=(x)对于某x∈A成立} 的集合简写成{f(x):x∈A}或{f(x)川x∈A}.于是，例如说若A={3,5,9},则 {x++:x∈A}就是集合{4,6,10}.当然，我们可以把替换公理与分类公理联合使 用，于是，作为例子，我们可以构作出类似于{f(x):x∈A;P(x)成立}这样的集合， 从集合A出发，使用分类公理造出集合{x∈A:P(x)成立}，然后再应用替换公理 来造出{f(x):x∈A;P(x)成立}.于是，作为例子{n++:n∈{3,5,9；n<6}= {4,6} 在我们的很多例子中都不明确地假定了自然数事实上都是对象(objects).我 们正式把此事陈述如下： 公理3.7（无限）存在一个集合N,其元素叫作自然数，0是N中的一个对象， 而且由每个自然数n∈N所指定的满足Peano公理（公理2.1~2.5）的对象n十+ 也在N中
S3.1基本事项35 这是假设2.6的一个更正式的形式.称其为无限的道理是因为它引入了无限集 合的一个最基本的例子，即自然数集N.(我们将在$3.6中正式叙述何为有限何为 无限)从无限的公理中我们看到，如3,5,9等之类的数字的确是集合论中的对象， (由双元素集公理及双并公理)我们确实可以合法地构作如{3,5,9}这样的集合，就 像在我们的例子中已做过的那样 人们必须把集合的概念与集合的元素的概念区别开来；例如集合{n+3：n∈ N,0≤≤5}与表达式或函数n+3不是同一回事.我们用一个例子来强调此事： 例3.1.33（非正式的）此例需要有减法概念，我们尚不曾正式引入.下述两集 合是相等的 {n+3:n∈N,0≤n≤5}={8-n:m∈N,0≤n≤5 (3.1) (见下文)，尽管对于一切自然数n,表达式n+3和8-n绝对不是同一表达式. 于是，一个好主意是，当你谈论集合时，记住要使用那些花括号}，以免你偶然把 一个集合混同于它的元素.这种反直观的情形的一个缘由是，字母n在(3.1)式两 边是以不同的方式被使用的.为弄清此种情形，我们用字母替换字母来重写集合 {8-u:n∈N,0≤n≤5}，那就得到{8-m:m∈N,0≤m≤5}.这与前一个集合 完全是同一个集合（为什么？），于是我们可把(3.1)重写为 {n+3:n∈N,0≤n≤5}={8-m:m∈N,0≤m≤5}. 现在容易看到（使用(3.1.4）)为什么这个等式是真的：每个形如n+3的数，其中n 是介于0和5之间的自然数，也是形如8-m那样的数，其中m:=5一n(注意m 因此也是介于0和5之间的自然数).看看要是我们不先把一个n换成m,(3.1) 的上述解释将会是多么更让人湖涂！ 习 题 3.1 3.1.1 证明(31.4)中的相等的定义是自反的、对称的和传递的. 3.1.2仅使用定义3.1.4、公理3.2和公理3.3，证明集合⑦，{⑦}，{⑦}以及{⑦，{⑦}全 是不同的（即其中没有两个是彼此相等的） 3.1.3 证明引理3.1.13中剩下未证的那些结论 3.1.4证明命题3.1.18， 3.1.5设A,B是集合.证明三个命题ACB,AUB=B,A∩B=A在逻辑上是等价的 (其中任何一个都蕴含其他两个) 3.1.6 证明命题3.1.28.（提示：可以使用其中的一些断言去证明另一些断言.有些断言还曾在 前面的引理3.1.13中出现过.)