第3章集合论 现代分析与绝大多数现代数学分支一样，都联系于数、集合以及几何.我们已 经引入了一种数系，即自然数系.我们还要简洁地引入其他数系，但此刻我们要停 下来介绍集合论的概念和记号，因为它们在后面的各章中将越来越多地得以应用， (我们在此书中无意追求对欧几里得几何等作严格的叙述，而代之以使用实数系的 语言在笛卡儿“坐标系中对它进行描述) 即使集合论不是本书的核心内容，几乎每个其他的数学分支也都有赖集合论为 其基础部分，所以在进入数学的更深入的领域前得到集合论的一些至少是根基性的 知识是非常重要的.在本章中我们叙述公理集合论的较为初等的概念，而把更进一 步的课题，如关于无限的讨论以及选择公理，留到第8章.集合论的精妙内容的完 整处理，很遗憾，大大超出了本书的范围 S3.1基本事项 本节给出关于集合的一些公理，就如同对于自然数所做的那样.为了教学的方 便，我们将使用有点过多的集合论公理，导致可以从某些公理推导出其他一些公理 的情形，但这并不会有真正的危害.我们从非正式地描述什么是集合开始 定义3.1.1（非正式的）我们把集合A定义为任意一堆没有次序的东西，例如 {3,8,5,2}是一个集合.设x是一个对象，如果x在这一堆东西当中的话，我们就 说x是A的一个元素，或x∈A,否则就是xA.例如3∈{1,2,3,4,5}，而 7{1,2,3,4,5} 此定义是足够直观的，但它没有回答许多问题，例如，怎样的一堆东西（对象） 才被看作是集合，什么样的集合与另外的集合相同，人们怎样定义关于集合的运算 (例如并和交等).同时，我们尚无关于集合干吗，或集合的元素干吗的公理.获取这 些公理以及定义这些运算正是本节的目的 我们首先要弄清一点：我们把集合本身也看成是一类对象. 公理3.1（集合是对象）若A是集合，则A也是一个对象.特别地，给定两个 集合A和B,问A是不是B的一个元素是有意义的. 例3.1.2（非正式的）集合{3，{3,4}，4}是三个不同的元素的集合，其中的一 个元素碰巧是两个元素的集合.对于此例的更正式的形式，见例3.1.10.但是并非一 ①原文为Cartesian..一泽者注
§3.1基本事项27 切对象都是集合；例如，我们作为范例不认为一个自然数，比如3，是一个集合（更 准确的说法是，自然数可以是集合的基数，而不必其自身就是集合，见$3.6) 注3.1.3集合论有一个特殊情形，叫作“纯粹集合论”.在“纯粹集合论”中 一切对象都是集合；例如数0可以等同于空集⑦，数1可以等同于{0}={}}，数 2可以等同于{0,1}={，{)}，依此类推.从逻辑学的观点来看，纯粹集合论是 一个更简单的理论，因为人们只须处理集合而不处理对象(object;但是从概念的 观点来看，处理非纯粹集合论往往更容易，在非纯粹集合论中，一些对象不被看作 集合.两种类型的理论对于做数学多多少少是等价的，所以我们对于是否一切对象 都是集合一事将采取不可知论者的立场 总起来说，在数学中所研究的一切对象之中，有些对象恰是集合，并且如果x 是一个对象而A是一个集合，则或者x∈A是真的，或者x∈A是假的.（如果A 不是集合，我们就把命题x∈A作为是无定义的，例如，我们认为3∈4既不是真 的也不是假的，而简单地是无意义的，因为4不是集合.) 往下，我们定义相等的概念：什么时候两个集合被认为是相等的呢？我们不认 为在一个集合内的元素的次序是重要的，于是我们认为{3,8,5,2}和{2,3,5,8}是 同一个集合.另一方面，{3,8,5,2}和{3,8,5,2,1}是不同的集合，因为后一个集合含 有一个不属于前一个集合的元素，即元素1.根据类似的理由，{3,8,5,2}和{3,8,5} 是不同的集合.我们把此事叙述为如下定义： 定义3.1.4（集合之相等）两个集合A和B是相等的，A=B,当且仅当A的 每个元素都是B的元素而且B的每个元素也都是A的元素.用另一种方式来说， A=B当且仅当A的每个元素x也属于B,且B的每个元素y也属于A: 例3.1.5于是，例如{1,2,3,4,5}和(3,4,2,1,5)是同一个集合，因为它们恰 包含同样的元素.（集合{3,3,1,5,2,4,2}也等于{1,2,3,4,5}；3和2的重复出现是 没有关系的，因为这毫不改变2和3作为集合元素的状态.) 容易验证此相等之概念是自反的、对称的和传递的（习题3.1.1).注意到：根 据定义3.1.4，若x∈A且A=B,则x∈B.那么“属于”关系∈遵从代入公 理（见A.7段）.正是因此，我们关于集合定义的任何新的运算也都遵从代入律，只 要我们能纯粹使用属于关系∈的语言来定义此运算.例如，对于本节中剩下的那 些定义，情况就是这样.（另一方面，在一个集合中，我们不能用一个确定的方式使 用“第一个”元素或“最后一个”元素的概念，因为这将违背代入公理，例如，集合 {1,2,3,4,5}与{3,4,2,1,5}是同一个集合，但具有不同的排在首位的元素) 下面我们转向这样一件事：哪些对象确切地是集合而哪些不是.情况与上一章 我们如何定义自然数时是类似的，当时我们从单个的自然数0开始，然后着手借助 增长运算建造更多的0之外的自然数.这里我们尝试类似的做法，从单个的一个集 合一空集开始，然后着手借助各种运算建造更多的异于空集的集合，我们从假
28第3章集合论 定空集的存在开始 公理32（空集）存在一个集合⑦，叫作空集，它不含任何元素，也就是说，对 于每个对象x,都有x⑦. 空集也记作}.注意，只能有一个空集，如果有两个集合⑦和⑦'都是空集， 那么根据定义3.1.4，它们必定彼此相等.（为什么？） 如果一个集合不等于空集，我们就说它是非空的.下述命题非常简单，但却无 论如何也值得一叙： 引理3.1.6（单个选取）设A是一个非空的集合，那么存在一个对象x使得 x∈A. 证明我们用反证法，假设不存在任何对象x使得x∈A.那么对于一切对象 x都有xA.同时，根据公理32，有x⑦.于是x∈A←→x∈⑦（两者皆假）， 于是根据定义3.1.4，A=0,得一矛盾. ■ 注3.1.7上述引理断言，给定任一非空的集合A,可以“选取”A的一个元 素x证实此非空性.后面（在引理3.5.12中）我们将证明给定任意有限多个非空 的集合A1,·,An,可以从每个集合A1,·,An中各选出一个元素c1,·,cn来 这就叫作“有限选取”.但是要想从无限多个集合中选取元素，需要一个附加的公 理一选择公理.我们将在S8.4中讨论选择公理 注3.1.8注意，空集与自然数0不是同一事物.一个是集合，而另一个是数 然而，空集的基数是0确是真的，见$3.6. 假如公理3.2是集合论的唯一公理的话，则集合论将会是相当无聊的，因为那 就只能仅有唯一的一个集合存在，即空集.我们现在进一步介绍一些公理来充实可 允许的集合类， 公理3.3（单元素集与双元素集）若a是一个对象，则存在一个集合{a},它 的唯一的元素是a,也就是说，对于每个对象y,有y∈{a}当且仅当y=a.我们把 {a}叫作单元素集(singleton),其元素是a.进而，若a和b是对象，则存在一个集 {a,b},其仅有的元素是a和b也就是说，对于每个对象，有y∈{a,}当且仅当 y=a或y=b;我们把此合叫作由a和b构成的双元素集(pair set). 注3.1.9恰如仅有一个空集一样，对于每个对象a,根据定义3.1.4，恰有一 个由a构成的单元素集（为什么？）.类似地，给定两个对象a和b,仅有一个由a和 b构成的双元素集.定义3.1.4也保证{a,}={b,a}(为什么？)以及{a,a}={a}(为 什么？).于是，单元素集公理事实上是多余的，因为它是双元素集公理的一个结果， 反之，双元素集公理可从单元素集公理和下面的双并公理推出（见引理3.1.13）.人 们可能奇怪为什么我们不再继续往下建三元素集公理、四元素集公理等；然而这是 不必要的，一旦我们下面引入双并公理后就可明白. 例3.1.10由于0是一个集合（从而也是一个对象），所以单元素集{⑦}，即
$3.1基本事项29 仅有⑦为其元素的集，是一个集合（并且它不是与⑦同一的集合（为什么？）).类 似地，单元素集{⑦}及双元素集{⑦，{②}也都是集合.这三个集合是彼此不同 的（习题3.1.2) 如下述诸例所示，我们现在已经能够构作相当少量的一些集合，我们所作的这 些集合依然都是相当“小”的（我们所能构作的每个集合充其量只含两个元素）.下 述公理使我们能构作比前面稍大的集合. 公理3.4（双并）给定两个集合A,B,存在一个集合AUB,叫作A和B的 并，其元素由属于A或属于B或同时属于两者的一切元素组成.换句话说，对于 任何对象x, x∈ALUB→(x∈A或x∈B), 回忆一下，“或”在数学中默指包括，或者说：“X或Y成立”指的是“或者X 成立，或者Y成立，或者两者都成立”.见§4.1. 例3.1.11集合1,2}U{2,3}由或属于{1,2}或属于{2,3}或属于两者的那 些元素组成，换句话说，此集合的元素简单地就是1,2和3.因此，我们把此集合表 示为 {1,2U{2,3}={1,2,3} 注3.1.12若A,B,A'都是集合且A等于A',那么AUB等于A'UB(为 什么？需要使用公理3.4和定义3.1.4).类似地，若B是一个等于B的集合，则 AUB等于AUB',于是，并运算遵从代入公理，且对于集合是定义明确的 我们现在给出并的一些基本性质： 引理3.1.13若a和b是对象，则{a,b}={a}U{b}.若A,B,C是集合，则并 运算是交换的（即AUB=BUA),也是结合的（即(AUB)UC=AU(BUC), 而且还有AUA=AU0=⑦UA=A. 证明我们只证结合性等式(AUB)儿UC=AU(BUC),而把其他结论留作 习题3.1.3.根据定义3.1.4，我们应证明(AUB)UC的每个元素都是AU〔BUC) 的一个元素且反之亦然.于是，先假定x是(AUB)UC的元素.根据公理3.4，这 意味着关系式x∈AUB和x∈C中至少有一个是真的.分两种情形来说.若 x∈C,则再次根据公理3.4，x∈BUC,于是再由公理3.4，有x∈AU(BUC).现 在代替x∈C而设x∈AUB,则再次根据3.4，x∈A或x∈B.若x∈A,则根 据公理3.4，x∈AU(BUC),而若x∈B,由公理3.4的顺次使用，有x∈BUC, 进而x∈AU(BUC).于是在一切情形下我们都看到，(AUB)UC的每个元素在 AU(BUC)之中.类似的论述表明，AU(BUC)的每个元素都在(AUB)UC之 中，于是如所要证的那样，（AUB)UC=AU〔BUC)
30第3章集合论 根据上述引理，我们没必要使用括号来表示多次的并运算.于是，例如我们可 以写AUBUC以代替(AUB)儿UC或AU(BUC).类似地，对于四个集合的并， 可以写AUBUCUD,等等. 注3.1.14即使并运算具有某些与加法类似的性质，此两种运算并不是相同 的.例如，{2}U{3}={2,3},2+3=5,而{2}+{3}是毫无意义的（加法是关于 数的，而不是关于集合的)，2U3也是毫无意义的（并是关于集合的，而不是关于数 的). 这个公理使我们可以定义三元素集(triplet),四元素集(quadruplet),依此类 推：若a,b,c是三个对象，定义 fa,b,c}:fa}lfoblfchi 若a,b,c,d是四个对象，定义 fa,6,c,dh :fablfoblfchlfd}; 依此类推.另一方面，我们尚不曾对于任意给定的自然数n定义由n个对象组成的 集合.这将要求重复使用上述的构造方法“n次”，然而次重复的概念尚不曾被严 格地定义.根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合，因为 那将需要重复使用双并公理无限次，而在目前的状态，能否严格地做这件事并不是 很明显的.往后，我们将引入集合论的其他一些公理以使我们能构作任意大的，甚 至是无限的集合 很明显，某些集合似乎比其他的集合大.正式建立这个概念的一个途径是引入 子集的概念 定义3.1.15（子集）设A,B是集合.说A是B的子集，记作A二B,当且仅 当A的每个元素都是B的元素，即 对于任何对象x,x∈A→xEB. 说A是B的真子集，记作AB,如果ACB但A≠B. 注3.1.16由于这些定义仅用到相等的概念和“是·的一个元素”这样 的关系，而这两者己然遵从代入公理，所以子集的概念也自动地遵从代入公理.譬 如说，若A二B且A=A',则A'CB. 例3.1.17我们有{1,2,3}≤{1,2,3,4,5}，因为{1,2,3}的每个元素也是 {1,2,3,4,5}的元素.事实上我们还有{1,2,3}三{1,2,3,4,5，因为这两个集合不相 等.给定任意一个集合，总有A二A(为什么？)以及0二A.(为什么？)