《自动控制基础》课程教学资源（PPT课件）时域分析法_稳定性分析_稳定性分析

第三章时域分析(续)线性系统的稳定性分析取消扰动后，系统的恢复能力应由瞬时分量决定，与输入无关。（稳态分量对应微分方程的特解，与外作用有关；暂态分量是齐次方程的解，与系统的结构、参数及初始条件有关）Z(A, +C)e" = 0lim只要有：系统一定稳定。t-→>00i=l可见：各子项必须均趋于零才行，即lim(A, + C,)esit = 0 = limesit = 0t80t-→8

取消扰动后，系统的恢复能力应由瞬时分量决定， 与输入无关。（稳态分量对应微分方程的特解，与 外作用有关；暂态分量是齐次方程的解，与系统的 结构、参数及初始条件有关） 只要有： lim ( ) 0 1  + = = → s t i n i i t i A C e 系统一定稳定。 可见：各子项必须均趋于零才行，即 lim( + ) = 0  lim = 0 → → s t t s t i i t i i A C e e 线性系统的稳定性分析（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析(续）稳定的充要条件若出现共轭复数根，则有：+2+2D+50+F0V-ZC(s) =S-S(s+5O)+(0m/1-5))i-B艺S-112nZo-SkOnktZ(A +C,)et1-52D.. c(t) =ecosOnk?kk=1i-1n2SrjtV1-5Ft+2ZFre-ion' sin wk B,e十k=lj-l若要系统稳定，必须前三项在t→时均为零

◆若出现共轭复数根，则有： t j r k n k i k n k s q j nk k j t n k k nk k t n k k s t i n i i F e t B e c t A C e D e t     = − = − = = + − +  = + + − 1 2 1 2 1 1 sin 1 ( ) ( ) cos 1 2 1 2         若要系统稳定，必须前三项在 t →  时均为零。     = = = = − + + + − + + − + − + − = q j r j n k k nk nk k k k nk k nk k n i i i n i i i j s s B s D s F s s C s s A C s 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( )         稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析(续）稳定的充要条件故仍有： lim(A, +C,)est =0t8及 lim D,e-5oxt cos Wmk /1-5t =0t-00以及lim Fre-5k@ut sinOnk V1-5t=0t>80所以需limest=0及lime-5k@mt=0。t>00t>0若有重根，如有α重实根s和β重共轭复根，土jのh则瞬时分量中相应出现esit0-Are"t,A,te'"及Dhe"' sinOnkV1-Sh't, Fneon coson/1-5h't

所以需lim = 0及lim − = 0。 → → t t s t t i k n k e e   1 0 2 − = − → F e t nk k t k t k n k     以 及lim sin lim( + ) = 0 → s t i i t i A C e 及 lim cos 1 0 2 − = − → D e t nk k t k t k n k     故仍有： ◆若有重根，如有 i h h, 重实根s 和重共轭复根  j 则瞬时分量中相应出现： sin 1 , , , , 2 1 1 1 2 D e t A e A t e A t e nk h t h s t i s t i s t i h i i i      − − 及  cos 1 , 2 1 F e t h h t h h    − 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析 (续)稳定的充要条件Pnteot sinOnk /1-5ht,Fnteot cosOn/1-DstB-leo sinOm/1-5t, FhptB-leocosWn/1-5t可见：只要有一个根的实部为正，则系统不稳，分量发散★系统稳定的充要条件为系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根

sin 1 , 1 2 D t e t nk h t h h      −  − Dh t e h t nk h t Fh t e h t h h t， 2 2 2 2 sin 1  , cos 1    − − 可见：只要有一个根的实部为正，则系统不稳，分量 发散. F t e t h h t h h 1 2 cos 1     − − ★系统稳定的充要条件为： 系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具 有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。 因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全 部特征根。 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析(续）稳定的充要条件这对于一、二阶系统很简单：一阶: as+a, =0 .:. s, =-ao只要ao，a均大于零系统就稳定-a,±va-4aoa2二阶: aos" +a,s+a, = 0 :. S2 =2ao当a,,a,均大于零时，S1,2均小于零，系统稳定

0 1 2 2 a0 s + a s + a = 0 0 2 2 1 1 1.2 2 4 a a a a a s −  − 二阶：  = 0 1 2 a ,a ,a 1,2 当 均大于零时， s 均小于零，系统稳定。 这对于一、二阶系统很简单： 只 要 均大于零系统就稳定。 一阶： 0 1 0 1 0 1 1 , 0 a a a a a s + a =  s = − 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析