第七模块87-6线性方程组矩阵与线性方程组证明应用数学用D中第列元素的代数余子式Aj,A,…,A,依次乘方程组(1)的n个方程,得(anx, + a2x, +..+anx,)A, =b,A,(a2ix, + a22x, +. + a2nx,.)A2, = b, A,)(anx, + anx, +...+ax,)A, =b,A.在把n个方程依次相加，得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 在把 n 个方程依次相加，得
第七模块矩阵与线性方程组87-6线性方程组(2j+.(2wj,-(2j.应用教学k=n-ZbAu,k=1由代数余子式的性质可知，上式中x的系数等于D而其余x(ii)的系数均为0；又等式右端为D,(2)于是Dx, = D,(j = 1,2,...,n).当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解D,DDD,XX.=X:X.DDDD
, 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
第七模块矩阵与线性方程组87-6线性方程组应用教学（1）等价，故由于方程组(2)与方程组DDD,D,1xxrXDDDD也是方程组的(1)解
由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解
第七模块矩阵与线性方程组87-6线性方程组方程个数与未知量个数相等的方程的解的情况应用数学定理1如果线性方程组1的系数行列式D≠0,则（1）一定有解，且解是唯一的定理2如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零
方程个数与未知量个数相等的方程的解的情况 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D 0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)
第七模块矩阵与线性方程组87-6线性方程组应用数学齐次线性方程组的相关定理ax, +ax, +...+ainx, =0a2ix, +a2x, +...+aznx, = 0(2)anx, +anx, +...+ax, =0定理如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解
齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) (2)