数值积分 ■插值型数值积分 ●思想：用插值函数，譬如Lagrange插值函数，代替被积函数，进行积分 1=,达=空k=2g3drx) -af() i-0 其中a=∫心l(x)dk ■误差估计公式 -atk ■代数精度 ●n次插值多项式形式的数值积分公式至少有n阶代数精度 12
数值积分 插值型数值积分 思想：用插值函数，譬如Lagrange插值函数，代替被积函数，进行积分 其中 误差估计公式 代数精度 次插值多项式形式的数值积分公式至少有 阶代数精度 12 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () n n b b b n n ii i i a a a i i n i i i I f I f L x dx l x f x dx l x dx f x α f x = = = ≈= = = = ∫∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ( ) b i i a α = l x dx ∫ ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( 1)! n b b x n nn n a a f E f I f I f R x dx x dx n ξ ω + =− = = + ∫ ∫ n n
数值积分 ■Newton-Cotes积分：取等距节点 ■设节点步长h=-0,x=a+h.i=0, ,有 n a=e-少-t二-《-d i(n-i)(-1)”- D(-1+1-i-1 =(b-a）)Cm 其中C为仅依赖于n的常量，可事先计算 ■性质： cw=1 i=0 13
数值积分 Newton-Cotes积分：取等距节点 设节点步长 ，有 其中 为仅依赖于 的常量，可事先计算 性质： 13 , , 0, , i b a h x a ih i n n − = =+ = 0 0 ( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) !( )!( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! () b n x a th i i n i a n i n n i tt t i t i t n a l x dx hdt in i nh t t t i t i t n dt in in baC = + − − − −+ −− − = = − − − = ⋅ − −+ −− − − =−⋅ ∫ ∫ ∫ ( ) n Ci n ( ) 0 1 n n i i C = ∑ =
数值积分 ■梯形积分：取n=1 c"=-lh=,cw=d=方 y=f(x) y=P(x) =-a[5fa@+5o创] ■性质：具有一阶代数精度 ■误差估计公式 x1=b )-axx-bi-ax-s 21 -b-af"5.5e[a,6l 12
数值积分 梯形积分：取 性质：具有一阶代数精度 误差估计公式 14 n = 1 1 1 (1) (1) 0 1 0 0 1 1 ( 1) , 2 2 C t dt C tdt =− − = = = ∫ ∫ 1 1 1 ( ) ( ) () () 2 2 I f b a fa fb =− + 1 3 ''( ) ''( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 2! ( ) ''( ), [ , ] 12 b b x a a f f E f x a x b dx x a x b dx b a f ab ξ ξ ξ ξ = −−= −− − − = ∈ ∫ ∫