第八章常微分方程数值解 2
2 第八章 常微分方程数值解
微分方程数值解 ■在科学研究或工程领城中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 健的问题 ■微分方程按自变量的个数可分为： ●常微分方程 ●偏微分方程 ■微分方程按定解条件可分为： ·初值问题 ●边值问题 3
微分方程数值解 在科学研究或工程领域中，有许多数学模型都是通过 微分方程来描述的，求解微分方程是非常重要的、关 键的问题 微分方程按自变量的个数可分为： 常微分方程 偏微分方程 微分方程按定解条件可分为： 初值问题 边值问题 3
微分方程数值解 ■研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的 数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法 ■ 目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法： ·有限差分法 ●有限元方法 ●有限体积法 ●边界元方法 ●谱方法
微分方程数值解 研究微分方程解析解的学科：数学物理方程，但是绝 大部分的微分方程是没有解析解的 数值求解微分方程没有统一的算法，针对不同类型的 微分方程，需要设计特定的算法 目前，研究数值求解微分方程的方法是热门的课题， 正在迅速发展之中，常见的方法： 有限差分法 有限元方法 有限体积法 边界元方法 谱方法 . 4
微分方程数值解 常微分方程的初值问题： =fx,),xea,b dx y(a)=yo ■为了使解存在雅一，一般需要对函数f(x,)如限制条 件 ■（初值问题解的存在唯一性）若函数∫(x,)在条带 a≤x≤b,-o<y<o上连续，且满足Lipschitz条件， 即f(x,)-f(x,y2≤L以-y2,则初值问题的解在区间 [a,b]上存在且难一 5
微分方程数值解 常微分方程的初值问题： 为了使解存在唯一，一般需要对函数 加限制条 件 （初值问题解的存在唯一性）若函数 在条带 上连续，且满足Lipschitz条件， 即 ，则初值问题的解在区间 上存在且唯一 5 = = ∈ 0 ( ) ( , ) , [ , ] y a y f x y x a b dx dy f xy (, ) 1 2 12 f xy f xy Ly y (, ) (, ) − ≤− f xy (, ) axb y ≤ ≤ −∞< <∞ , [,] a b
微分方程数值解 ■常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算 ·常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似 ■基本步骤如下： (1)对区间进行分割：△，：a=x。<x<<xm=b(即对 函数定义城进行离散)，目标是求解{y=y(x)}的值 (2)对微分方程进行离散，建立关于{}的方程，一 般要求满足：解的存在唯一性、稳定性、收敛性、相 容性 (3)解关于{y}方程，求出{y}的值 6
微分方程数值解 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法 直接对函数进行运算 常微分方程的数值解采用数值离散的方法，即在一系 列离散点列上，求未知函数在这些点上函数值的近似 基本步骤如下： （1）对区间进行分割： （即对 函数定义域进行离散），目标是求解 的值 （2）对微分方程进行离散，建立关于 的方程，一 般要求满足：解的存在唯一性、稳定性、收敛性、相 容性 （3）解关于 方程，求出 的值 6 ∆I : a = x0 < x1 << xm = b { ( )} i i y yx = { }i y { }i { } yi y