2.约束条件为不等式：（1）当约束条件为“<”时如：2x +2x ≤12可令：2x+2x2+x=12，显然≥0x3称为松弛变量。（2）当约束条件为“≥”时如：10x +12x,≥18可令：10x+12x2-×=18，显然×4≥0x4称为剩余变量。2025/4/512
2025/4/5 12 2. 约束条件为不等式： （1）当约束条件为“≤”时 如： 2x1 + 2x2 12 可令： 2x1 + 2x2 + x3 =12 ， 显然 0 x3 （2）当约束条件为“≥”时 如： 10x1 +12x2 18 可令： 10 12 18 ， 显然 x4 0 x1 + x2 − x4 = x3 称为松弛变量。 x4 称为剩余变量
（3）目标函数中松弛变量的系数由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利润，因此在目标函数中系数为零。松弛变量和剩余变量统称为松弛变量2025/4/513
2025/4/5 13 松弛变量和剩余变量统称为松弛变量 （3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零
3.取值无约束的变量如果变量x代表某产品当年计划数与上一年计划数之差，显然x的取值可能是正也可能是负，这时可令：x=x'-x"其中：x'≥0，x"≥04.变量x<0令xj =-x,，显然 x',≥02025/4/5
2025/4/5 14 3. 取值无约束的变量 如果变量x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令： x = x − x 其中： x 0，x 0 令 4. 变量 xj≤0 j j x = −x ，显然 0 j x
例。将下述线性规划模型化为标准型min z = X +2x2 +3x3[-2x + X2 + Xg ≤9-3x + x2 +2x,≥43xi -2x2 -3x, =-6xi≤0,x,≥0,x,取值无约束2025/4/5
2025/4/5 15 例. 将下述线性规划模型化为标准型 − − = − − + + − + + = + + 1 2 3 取值无约束 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 0, 3 2 3 6 3 2 4 2 9 min 2 3 x x x x x x x x x x x x z x x x
解：令 z'=-z， =-X, = -x,(x ≥0,x ≥0)得标准形式为：max z'= x' -2x2 -3x +3x' +0x4 +0xs=9[2x+ X2 + x' - x'+x43x + X2 +2x -2x-xs = 4=63xi + 2x2 +3x§ -3x"[X, X2, X, x, X4, Xs ≥02025/4/516
2025/4/5 16 解：令 z = −z，x1 = −x1 ， ( 0 0) x3 = x3 − x3 ，x3 ，x3 得标准形式为： + + − = + + − − = + + − + = = − − + + + 0 3 2 3 3 6 3 2 2 4 2 9 max 2 3 3 0 0 1 2 3 3 4 5 1 2 3 3 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z x x x x x x ， ， ， ，