§43定积分的两个积分法则 定积分换元积分法 目若函数f(x)在a,b上连续,函数x=()在a,B上 是单值的,且有连续的导数q(t),当在a,B上变 化时,x=p(t)的值在a,b上变化,且有g(a)=a, P(B)=b, 则有定积分换元公式: ∫(x)=J。om)d(()=。1o()p(ot 注:换元的同时要换限 例1: +2 dx √2x+1 目解:令√2x+1=t,则x= dx= tdt 2 当x=0时,t=1当x=4时,t=3 x+2 +2 bdx o0√2x+1 2J,(t2+3)d (t3+3 2 23 3
6 §4.3 定积分的两个积分法则 一、定积分换元积分法 ( ) [ , ] () [ , ] () [ , ] () [ , ] () ( ) f x ab t x t t a b t x ab ϕ αβ ϕ ϕ α β ϕ α ϕ β ′ = = = = 若函数 在 上连续， 且 函数 在 上 是 的， 且 有连续的导数 ，当 在 上变 化时， 的值在 上变化， 有 单值 ， ， 注：换元的同时要换限 ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) () () b a f x dx f d f t t d t t t β β α α = = ϕ ϕ ϕ ϕ′ ∫∫ ∫ 则有定积分换元公式： 例1：∫ + 4 + 0 2 1 2 dx x x 2 1 2 2 1 t x t + = x dx t t d − 令 ，则 ， = = 当 时， 0 x = t = 1 当 时， 4 x = t = 3 2 4 3 0 1 1 2 2 2 2 1 t x dx t t dt x − + + = + ∫ ∫ ∫ = + 3 1 2 ( 3) 2 1 t dt 3 1 3 3 ) 3 1 ( 2 1 = t + t 3 22 = 解：
例2:V1-x2 解:令x=sint,则=cost 当x=0时,t=0当x=1时,t 元 2 x dx sin- t cos tat 1+ cos 2t cos tat dt 2 (t +sin 2t) 22 4 例3: 设f(x)在|-n,a上连续,证明 到(1)若f(x)为奇函数则[f(x)dt=0 (2)若f(x)为偶函数,则f(x)d=2f(x) 奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分 可以简化计算
7 例2： 0 2 0 1 2 2 1 1 sin cos x dx t tdt π −= −⋅ ∫ ∫ ∫ − 1 0 2 1 x dx 令x = sin t ，则d tt x = cos d 当 时， 0 x = t = 0 2 1 x t π 当 时， = = 2 0 sin2 ) 2 1 ( 2 1 π = t + t 4 π = ∫ = 2 0 2 cos π tdt ∫ + = 2 0 2 1 cos2 π dt t 解： 0 ( ) (1) ( ) ( ) (2) ( ) [ ,] 0 ( ) 2 () a a a a a f x f x f xd a a f x d x f x f x dx x − − − = = ∫ ∫ ∫ 设 在 上连续，证明： 若为 ，则 若 奇 为 数，则 函数 偶函 例3： 奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分 可以简化计算