《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

f(0,Ay)-f (0,0)fx(0,0) = limAy-→0Ay-Ay=-1= limAy->0Ay同样的方法可求得f,(△x,0) - f,(0,0)fyx(0,0) = limAx△x-→0Ax=1± fx(0,0)= limAx->0 △x问题2混合偏导数具备怎样的条件才相等？

lim 1 (0, ) (0,0) (0,0) lim 0 0 = −  −  =   − =  →  → y y y f y f f y x x y xy lim 1 (0,0) ( ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0 xy x y y x yx f x x x f x f f =    =   − =  →  → 同样的方法可求得 问题2 混合偏导数具备怎样的条件才相等？

分析：由定义f(x+△x,y)- f(x,y)f.(x,y) = lim△x△x-→0f.(xo, yo +Ay) - f(xo, yo)fr,(xo, yo)= limAyAy→01= lim -[f (xo, yo +Ay) - f.(xo, yo))Ay-0 Ay1f(xo +Ax, yo +Ay) - f(xo, yo +Ay)1 -[ lim= limAxAy→0 AyAx0f(xo + Ax, yo)- f(xo, yo)- lim AxAr-0

分析:由定义 x f x x y f x y f x y x x  +  − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y f x y y f x y x x y  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 x f x x y y f x y y y y x  +  +  − +   =  →  → ( , ) ( , ) [lim 1 lim 0 0 0 0 0 0 [ ( , ) ( , )] 1 lim 0 0 0 0 0 f x y y f x y y x x y +  −  =  → ( , ) 0 0 f x y xy ] ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 x f x x y f x y x  +  − −  →