例 1 设z=xy2-3xy3 -xy+1,a"za"z0"z、0"z、0"z求及arsayax xaydy?ax?Oaz解 zz =3x y2-3y - y,= 2x y-9xy2 - x;axayaza’za'z = 2x-18xy,= 6xy,=6y",-2ar?ar3a’z=6x'y-9y~-1, 0'z= 6x'y-9y2 -1.axdyayax
例 1 设 3 1 3 2 3 z = x y − xy − xy + ， 求 2 2 x z 、 y x z 2 、 x y z 2 、 2 2 y z 及 3 3 x z . 解 x z − y, y z 2 9 ; 3 2 = x y − xy − x 2 2 x z 6 , 2 = xy 2 2 y z −18xy; 3 3 x z 6 , 2 = y y x z 2 6 9 1. 2 2 = x y − y − x y z 2 −1, 3 −3y 2 2 = 3x y 3 = 2x 2 x y − 9y 2 = 6
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：偏导函数图形原函数图形偏导函数图形导函数图形二阶混合偏
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 二 阶 混 合 偏 导 函 数 图 形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
例2 设u=eaxcosby，求二阶偏导数udu解=eax (-sin by) b= cos by ea adyax= -beax sin by,= aeax cos by,a"ua'u a'ea* cos by,=-b’eax cos by,ay?ax?a'u"u-abeax sin by,: -abeax sin byaxydyax
例 2 设u e by ax = cos ，求二阶偏导数. 解 a be sin by; ax = − cos , 2 a e by ax = cos , 2 b e by ax = − abe sin by, ax = − abe sin by. ax = − = x u ae cosby, ax = ax cosby e = y u (−sin by) b ax e 2 2 x u 2 2 y u y x u 2 x y u 2
问题1所有的混合偏导数都相等吗？x?-y2,x +y?+0xy例3f(x,y) =1+ X[0,x2 + y2 = 0它的一阶偏导数为当x*+y +0 f.(x,y)=J(x*+4x*y2-y)(x? + y2)
例 3 + = + + − = 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y f x y 它的一阶偏导数为 问题1 所有的混合偏导数都相等吗？ 0 2 2 当 x + y 2 2 2 4 2 2 4 ( ) ( 4 ) ( , ) x y y x x y y f x y x + + − = *
f(△x,0) - f(0,0)当x2 + y2 =0 f,(0,0)= limAxAr→00-0= lim=0△xAr-→0即(x*+4xy-y,x +y*0(x? + y2)?f.(x, y) =[0,x?+y2 =0 *
0 0 0 lim ( ,0 ) ( 0,0 ) ( 0,0 ) lim 0 0= − = − = → → x x f x f f x x x 0 2 2 当 x + y = + = + + + − = 0, 0 , 0 ( ) ( 4 ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x y x y x y y x x y y f x y x 即 *