4在量子力学中厄密多项式Hn(x)满 足如下函数关系式: F(x,)=e2=∑H(x)/k! (1把Hn(x)表示为围道积分 (2)证明Hn(x)满足厄密积分方程 dh dH 2x一+2nH=0 dx (3)导出Hn(x)的关系式 dH八=2nHn1(x) d x
2 2 -( - ) 0 2 2 -1 ( , ) ( ) / ! (1) ( ) 2 ( ) : - 2 2 0 (3) ( ) ( ) 2 ( ) 4. ( ) x t x k k k n n n n n n F x t e H x t k H x H x d H dH x nH dx dx H x dH x n x H d H x x ¥ = = = å + = = 学 为围 积 证 满 积 项 数 导 满 关 关 把 表示 道 在量子力 中厄密多 式 足如下函 系式： 分 （ ） 明 足厄密 分方程 出 的 系式：
(1)若令 H(x) k 则e k=0 1 -(t-x d t 27i H(x)=.n!=f, d t 2 问:Hn(x)有无微分式?J(x呢?
2 2 2 2 2 2 -( - ) 0 -( - ) 1 -( - ) 1 ( ) (1) ! 1 2 ! ( ) ! 2 ( ) ( ) k k x t x k k k x t x k l k x t x n n l n n n H x a k e a t e a dt i t n e H x a n dt i t H x J x — — 若令 ： 有 微分式？ 呢？ p p ¥ = + + = = å \ = ò \ = × = ò 则 问 无
(2)由F(x,1)=∑H4(x)知: 欲证此,只要证F(x,)满足此方程即可。 C对于变量x相当于常数,即要证 a2F aF aF 2x+2t 0 Ox F=da2(y2=(,2x-(-x x d 1 2tF(x, t)
[ ] 2 2 0 2 2 -( - ) 2 ( , ) ( ) ! ( , ) : ! - 2 2 0 ( , ) 2 - 2( - )(-1) k k k k x t x t F x t H x k F x t t x k F F F x t x x x F d e F x t x t x x dx Q （ ）由 知： 欲 此，只要 足此方程即可。 于 量 相 于常 ，即要 ¥ = = × å ¶ ¶ ¶ + = ¶ ¶ ¶ ¶ = = × ¶ 证 证 满 对 变 当 数 证 = 2tF ( x, t)