2切线问题割线的极限位置—切线位置 1.251.51.7522.252.52.753
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导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容,但如果撇开它们具体的物理 意义,单从数量关系上看它们有共同的本质,两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度,即都反映了函数的变化率 li f(x)-f(x0) (X0 0 定义1、设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义,若极限 f(x)-f(x0) lim x→X X-X 存在,则称函数∫在点x可导,并称该极限为函数f在点x处的导数, d f(xo), y'I 0 X=Xo 等. 若上述极限不存在,则称f在点x0不可导。 下页
二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理 意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变 化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 0 0 x x x x f(x) f(x ) lim 0 − − → （3） 定义 1、设函数 y = f (x)在点 0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 0 x x x x f(x) f(x ) lim 0 − − → 存在，则称函数 f 在点 0 x 可导，并称该极限为函数 f 在点 0 x 处的导数， 0 0 0 0 x x x x x x | dx df | , dx dy f (x ) , y | , = = = 等. 若上述极限不存在，则称 f 在点 0 x 不可导。 下页
注:令x=x0+Ax,y=f(x0+△x)-f(x),则(3)式可改写为 △=1(x+△x)=f"(x0 (4) →>0△x △ 所以,导数是函数增量△y与自变量增量△x之比坐的极限,这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数f(x0)则为∫在x0处关于 x的变化率,它能够近似描绘函数y=f(x)在点x0附近的变化性态。 例1求函数f(x)=x2在点x=1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的 切线方程。 解:由定义求得 f(1)=1im f(1+△x)-f(1) 7mn(1+△x) Ax0 △x Ax>0 △x 7im2△x+P lim(2+△x)=2 Ax>0 △x △x0 下页
注：令 x = x0 + x ， ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，则（3）式可改写为 f ( x ) Δ x f(x Δx) f(x ) lim Δ x Δ y lim 0 0 0 Δ x 0 Δ x 0 = + − = → → （4） 所以，导数是函数增量△y 与自变量增量△x 之比 x y 的极限，这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 ( ) 0 f x 则为 f 在 0 x 处关于 x 的变化率，它能够近似描绘函数 y = f (x) 在点 0 x 附近的变化性态。 例 1 求函数 2 f (x) = x 在点 x = 1 处的导数，并求曲线在点（1，1）处的 切线方程。 解：由定义求得 Δ x ( 1 Δx) 1 lim Δ x f(1 Δx) f(1) f (1) lim 2 Δ x 0 Δ x 0 + − = + − = → → lim( 2 Δx) 2 Δ x 2Δx Δ x lim Δ x 0 2 Δ x 0 = + = + = → → 下页