第一章 Fourier变换 2 cos toldo 由此可得 ,+2以d一 (3)f(t)为一连续的奇哟数,由 Fourier积分公式的三角形 式,有 f(t)= f(r)cos o(t-t)dr day f(r)(cos tot cos (or +sin t sin wt )dt dar 2 sit dri sin td (cs(a-1)t-cos(c+ 1)r)d 1(%[sin(a-1)*sin(o+1) sin wt d I[sin( c-1)sin( w+ 1)7)sin ot d 由此可得 r sinl w Sin at f(t) t 注以上三小题都可以由 Fourier积分公式的复数形式获得 结果 4.求函数f(t)=e,(B>0,t≥0)的于 ourier正弦积分表达 式和 Fourier余弦积分表达式 解根据 Fourier正弦积分公式,并利用分部积分法,有 f(t)= o (r)sin word sin wt do
三习题全解 StnE (r) 2 i* re(Bsin oor -wcos or 」。+m2n 根据 Fourier余弦积分公式,同理可得 f(t) f (r)cos ordt cos ot d a e C()[! cos (ot day 2 we (sin cot-3 cos wt) cos tot d cos at da 习题二解答 A.0≤:t≤ 1.求矩形脉冲函数f(t)= 的 Fourier变换 0,其他 解根据 Fourier变换的定义,有 (a)=7f(t习 Ae bl d t 2.设F(o)是函数∫(t)的 Fourier变换,则F(a)与f(t)有 相同的奇偶性 证因为f(t)与F(a)是一个 Fourier变换对,即 F() } F(ω)ed 如果F()为奇函数,即F(-)=-F(),则
32 第一章 Fourier变换 Fo) d 2 F(-a) F(ued 了)+ (换积分变量v为c) F(wed f(t) 所以f(t)亦为奇函数 如果f(t)为奇函数,即f(-t)=-f(t),则 f(t) f dz (令-t=) /(ue d (换积分变量t为t) f(t)c Jod F() 所以F(a)亦为奇函数 同理可证f(t)与F()同为偶函数 3.求下列函数的 Fourier变换,并推证下列积分结果 (1)f(1)≈Qe,t>(0 (a>0,B>0)证明 0 t<0 t>0 cos ot t osin wot T t=0 + 0 t<0 (2)f(t)= 证明
三习题全解 oscπcsot ccst,|t|≤ 解(1)出 Fourier变换的定义,有 F(a)= f(t)e'jsotdt o(B+jee) du e^(gja:+∞ (β 由 Fourier积分公式,并利用奇偶函数的积分性质,在f(t)的连续 点处,有 2TJ-aa 「-", (cos wt jsin at )dc t Psin at(coS at d cos wt t a)Sin (ot 在间断点t=0处,左端∫(t)应以[f(0+0)+f(0-0)]-代 替.由此可得 Bcos ot t (sin ot
第一章 ourier变换 <0 (2)f(1)为一连续的偶函数,则 F(o)=/(t)e odd jsin wt )dt =2 cos t cos ct dt s (1-G)t+ cos(l +w)t] d sin(1-w)t n sin(1-aa, sin(l+ae)T cosin to 由 Fourier积分公式,有 F(a)ee d o osin cπ (cos t jsin at )dar sn其 -cos cut do 由此可得 CUsin w TCos D t,}a≤ d 0 4.求函数f(t)e"(t≥0)的 Fourier正弦变换,并推证