三习题全解 0号 解由 Fourier正弦变换公式,有 F.(o)=f(t)1 f(t)sin cot dt sin atd (- sin COS <nl 由 Fourier正弦逆变换公式,有 f(t)=:F,(u)]=2r F(asin wtd wsin (ot 由此,当t=a>0时,可得 csin ac d f(a)-e",(a>0) 5.设沉f(t)]=F(a),试证明 (1)f(t)为实值函数的充要条件是F(-o)=F(a); (2)f(t)为虚值函数的充要条件是F(-t)=-F(o) 证在一般情况下,记 f(t)=f(t)+if; (t), 其中f(t)和f(t)均为t的实值函数,且分别为f(t)的实部与 虚部.因此 F(a f(te d L/(t)+j/ (t)i[cos atjsin ut]de
36 第一章 Fourier变换 f (t)cos unt+f (t )sin ant ]dt - Lf (tsin wt-f (t)cos cut ] d Rel F(o)+jI[ F(w) 其刂 Rel F(o)I L/ (t)cos wr+f (tsin ot ]dz ImLFCo) r'L/,(sin a-/( )cos ot ]dt (b) (1)若∫(t)为t的实值函数,即∫(t)=f(t),f(t)=0.此 时,(a)式和(b)式分别为 Re[F(o)]='(t)cos at dt Im[F(u) f (t)sin ldc 所以 F(-a)=ReL F(-@)+jlm[ F(-o) RcL F(o)]-jIm[ F(w)]=F(a) 反之,若已知F(-c)=F(o),则有 Rel F(-a)]+jli F(-co)]=Rel F(o)]-iImL F(o)] 此即表明F()的实部是关于a的偶函数;F(u)的虚部是关于a 的奇函数.因此,必定有 F(w)=1 f(t)cos ot dt f (t)sin (tdt 亦即表明f(t)=f,(t)为t的实值函数.从而结论(1)获证 (2)若f(t)为t的虚值函数,即f(t)=jf(t),厂,(t)=0.此 吋,(a)式和(b)式分别为 Rel f(o) f (t)sin atdt
题全解 3了 [F(a)] f(i)cos wdt 所以 F(-w)-Rel F(--w)]+jInL F(-wo) Rel F(o)]+jlm[ F(w)] RcF()」…in!F(c)} 反之若已知F(-a)=-F(a),则有 Rel F(-w)]+jIm[ F(-()]=-Re[F(w)]+ jIm[ F(o) 此即表明F(ω)的实部是关于的奇函数;F(ω)的虚部足关于m 的偶函数.因此,必定有 F(o)= /()sin atd/+j S (t)cos atdt, 亦即表明f(t)j∫(t)为t的虚值函数.从而结论(2)获证 注本题与第2题,在有些阝屮统称为复函数 Fourier变换的 奇偶虚实性质,即 1。f(t)和F(a)有相同的奇偶性 2”f(t)为t的实值两数的充要条件是F(a)的实部为w的 偶函数,虚部为o的奇函数 3°f(t)为t的虚值函数的充要条件是F(o)的实部为a的 奇函数,虛部为ω的偶函数. 在这个性质中,还有一些结论就不再一一列举了 6,已知某函数的 Fourier变换为F(a)=m,求该函数 /(t) 解由 Fourier逆变换公式,有 Sir C cos a t
38 第一章 Fourier变换 sin acos art d sin(1+ t)a sin t)(o 由单位阶跃函数a(t)的 Fourier积分表达式可知 ”sir:at (t)-,(t≠0) 从而 Lr"“sn(1+1)98=a(1+t)2(4≠-1) in(L…t) d=a(1-t) 因此 f(t)=[u(]+t) (a(1-t ,(t:≠1), 而当:=-11时左猫f()应以2[(+0)+f(t-0)=4代 替,即 u(1t)+a(1-t)-1],;t|≠1; f(t)= 注1此题也可以利用 D)richlet积分!=7求得结果 注2本题的结果也可以写为 t!<1 (t)=< t>1
题全解 39 7.已知某函数的 Fourier变换F(a)=la(a+o)+6(a o),求该函数∫(t 解利用8-函数的筛选性质,由 Fourier逆变换公式,有 2 )+δ( )]e td e B(a+ ame dw+ (o-wo)e da 2e°=csao 8.求符号函数(又称正鱼号函数)sgnt 的 Fourer变换 解因为符号函数和单位阶跃函数有下列关系,即 2a(t)-1 利用u(t)及1的 Fourier变换及线性性质,有 F(o)=ysgnt ]=2 /lu(t)]-Fl1] 21:+π8(a)}-2π6(o) Jo 注利用sgnt=t(t)t(-t)及-函数是偶函数的性质 也能求得结果 9.求函数f(t)=!(t+a)+b(t-a)+B(t+4)+ 的 Fourier变换 解利用-函数的筋选性质,有