习题全解 Y(o)> n act (a) de P cotte rda y(w)eri ' de y(a) 2a 2π y(x+r)dr y(Eda 2 而 F[p(w)cos wt Φ(a) cos arte"d 27 φ p(at 从而 T t f(e)d4+n[(z at )+o(x- at) 习题全解 习題一解答 试证:若f(t)满足 Fourier积分定理的条件,则有 a(o)cos olda b(osin at do 其中
第一章 Fourier变换 (c)= f(r)c dx 证利用 Fourier积分公式的复数形式,有 f(r)e j dr cud r(r)(cos wr -jsin or )drd od La(o)-jb(w )](cos t jsin cor )de 由于 b(a)=-b(-) 所以 a(a)cos t doo+ h(o)sin ot d a(w/cos out do b Cosin at dw 注本题也可以出 Fourier积分公式的三角形式得到证明 2.求下列函数的 Fourier积分: 「1-t (1)f(t) (2)f(t) t<0 (3)f(t)=/~1 1<t<0 0<!< <t<+ 解(1)此题亦可写为/(=x1-t3,|tl≤1; 它是一个
三习题全解 27 连续的偶函数,利用 Euler公式和分部积分法,由 Fourier积分公 式的复数形式,有 f(t)=1r∞ f(r)e dw rdt sin wr_(2rcos wr_2sin ar +tsin wt 1 (9 2(sin a-wLos a)j*wdcb sIn Ccos dl (cos at jsin at )dar 4 sn的Csa cos tot do (2)函数f(t)为一连续函数,用类似于(1)的方法,有 f(t)=If'orck f(r) or de Md sin 2re udr ede T sin 2te (1+jo) sin 2t-2co5 2t 2 (1+ja)2+4 da 2 5 (5-a2)+2o[(5-a2)-2 (as ax t jsin at )da (5-co )os ax+2asin ax +j(5-()sin at-j2woos (5-a2)2+4 2 f+o(5-a))cos t+2 sin t do 25-6 (3)可以看出f(t)为奇函数,且-1,0,1为其间断点因此
第一章 Fourier变换 在f(t)的连续点处,有 dw = 2[J f(r)jsin ordt ejo dar f(rsin ardr eat da sin wrdt ed sin (ut c 2f1-cOsw sin uf Cw 0 而在f(t)的间断点t=-1,0,1处,左边的f(t)应以(f(to+ 0)+f(tb-0)代替 注以上三小题都可以利用 Fourier积分公式的三角形式而 求得结果 3.求下列函数的 fourier积分,并推证下列积分结果 (1)f(t)=e“(B>0),证明「 (23 2)(1)=t,证明m+2o=m1 (3)f(t) s sin t,|th≤π; 0 证明」 sin within (ut 2 sint,itl|≤ 解(1)f(t)为一连续偶函数,由 Fourier积分公式的三角形
三习題全解 9 f(t) ∫(x)cosw(t-r)drdo A,e"a\r(cos at cos at sin tsin wr )dr d 200s at dt i de e(- Bcos aT+ Gu Sin wT|+° cos at de 由此可得 cOs (ot 2p (2)f(t)为连续偶函数,由 Fourier积分公式的三角形式,有 ∫(t f(r)cos w(t-r)drde ,丁。c" r(oos at Cos at如mm)] e cos cos at COs tdti dw cos tCos ardt cos ot da m Jo Jo e,(as(o+ 1)t+as(w-1)r)dr oos ada 1 0* re (-cos(w+1)r+(a+1)sin(o+1)t) 1+(ω+1 (-∞os(a-1)x+ d 十 1+(a+1)21+(a-1)