第一章 Fourier变换 方法1原方程可改写为 2 y(u)cos ot do 根据 fourier余弦积分公式可知f(t)为y(o)的 Fourier余弦逆 变换,即 f(t)cos at dt 2 coS atdt +2cos war/ sin (t t-sin wt 2(2sin 2w-sin a) 方法2由于f(t)为一个单侧函数,根据积分方程,我们可 以将f(t)在(-∞,0)上作偶延拓.实际上表明,我们可以用Fou ricr余弦积分公式来表示,即 f(t)= f(u)cos wudu cos otd 2 COS Gau du 2c0s wudu cos at dw 2 2 sin ct cos ot d ∞2(2sin2-sina) cos ctdo 对照原来的积分方程可知 y(u)2(2sin 2w- sin (2)这是一个含未知函数y(t)的微分积分方程按一般的求 解步骤,首先利用 Fourier变换的性质,如线性性质,微分性质,积 分性质以及卷积定理等,将此类微分、积分方程化为y(t)的象函
二例题分析 21 数的代数方程;其次是解这个代数方程得到象函数Y(a)= 列y(t)];最后,求Y(a)的 Fourier逆变换,从而获得所求方程的 解.为此,设 FLy(r)]=Y(w);h(t)]H(w 现对此方程两端取 Fourier变换,可得 joY(o)-I 从而解得 Y() 再求 Fourier逆变换,可得 ()=[Y(a)]=1 ∫。 Y(oe dw j∫"aH(a),m 如果已知函数h(t)的具体表达式,我们就能够算出y(t)的 具体结果例如当h(t)=e21,则 +0 H(o)=%h(t)i= e 2re jo dt e"e lu dt t dt (2-ja)t dt 从而y(t)= 4we +1)(a2+4 -2j CU (a2+1)(a2+4)
22 第一章 Fourier变换 对于这种类型的积分可以用复变函数中的留数定理来计算① 当t>0时,R(x)= (z2+1)(z2+4) 在上半平面内有两个 级极点,即z1=jz2=2j.因此 d=2x∑Res[R(z)e,x 其中 Resl R(z) e,z]=lim(x-j) e (z2+1)(z24)6 ResR(z)e", 22]=lim( z-2j) z2+1)(x2+4) 所以 2i>Resl R(x)e", nI 2 e 当t=0时, do=2ng> Res[ R(z),x 一m +1)(a2+4) 其中z为R(z)在上半平面内的一级极点,即x1=j,z2=2j,有 0形如R(x)e"dx(a>0)的积分,其中R(x)是x的有理函数分母的 次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分存在,而月 ∫R(x)dx=2)RsF()-“,,这里a,为R(=)在上*平面内的极点 当a=0时,即形如R(x)dr的积分,其中R(x)是x的有理函数,而分母的次数 至少比分于的次效高二次,月R(z)在实轴上没有孤立奇点时,积分存在,而且 sR(x)dx=2m∑Res[R(x),x],这里x为R(x)在上半平面内的极点 详细情形,例如参看西安交通大学高数学教研室编《「程数学一复变函数》(第四 版).)996年,高等教育出版,第164-167页
例题分析 23 ReLR(x),=1m(x-)(+1)(x+4=6 Res[R(x),2]-im(x-2)(2+1)(x2+4)6 丙此 y()2-3272Rask),1=46-)=0 当t<0时,令c=-a,仿照t>0时的计算过程,有 ( (a2+1)(o+4 4 叫(6 最后,求得的解为 t>0 (t)={0 t<0 例1-5求解定解问题 今28,(n<+∞,>0); 解这是一类弦自由振动的初值叫题.根据《内容要点》中 “ Fourier变换的应用”所列出的解题步骤,不难得到该定解问题的 解,由于二元函数u(x,t)中的一个变量x的变化范围为(-∞, +∞),因此对上述方程及初始条件关于t取 Fourier变换.记 Flu(x,t)=U(o, t) g(x)-Φ(a),开p(x)]=y(a);
24 第一章 Fourier变换 这样,我们就能将原定解问题转化为求解含有参数a的常微分方 程的初值问题: d du Y(u) t 这里,方程是U(m,t)关于t的一个二阶常系数齐次微分方程,显 然它的通解为 U(a, t)=c, sin wat + c, cos aat 由初始条件可得 因此,该常微分方程的初值问题的解为 U(w, t)=-y(a)sin axt .o(a)cos wat y( a)cos axat 现在,刈上式求 Fourier逆变换,即 u 1[U(u,t)] sin axat 由于 (cos at+ jsin ot ) dr Sin (ult coS ( rdr 所以