二例題分析 15 [a(t) c t j o)2+B2 对照方法2,再利用象函数的微分性质.即可得到结论,亦即 f(da (a +ja)+i 方法4利用象函数的卷积公式,记f1(t)=tc),f:(t) n()e“,则f(x)∵f()]=2F(o)F2(o),其中F(a) [f(t),i=1,2.由 cR]=r[a(ω+B)+a(-)] 及象函数的微分性质知 f(t)」!cOs] d(x((m+8)+6(an (c+)+6(u-9)1 f2(t)」:w(t)e“]= atic 从而,根据卷积的分配律卷积的导数公式(见习趣四的1(6)坟 筛选性质,有 江f(t)]=礼f:(t)·f2(t)] =[ir(6(a+B)+6(0-8)a+j 8(w+B) +a(a-3)+ δ(a+B)米
16 第一章 Fourier变换 δ(a-B)* [JacP)a+(-4-] [∫0(x-p)a+(r ndola +i( a+jω-t 2{[a+(a+8)2+a+(-8)y 方法5利用象函数的卷积公式,还可以记f(t)=cos, f2(t)=t(t)te“,而 cost]=r[8(a+B)+8(a-B)], FLu(tte a] 再使用方法4,有 究f(t)]=f1(t)·f2(t)] 2xx(8(a+8)+b(a-A)*1 δ(+B +δ(a-A) δ(r+B) dr t .8(r-B) -rdr 2[a+j(a+B)]2[a+j(a
二例题分析 7 (a+jω 利用 Fourier变换的性质来求函数的 Fourier变换,虽然有一 定的技巧性,如果我们能够较好地理解和掌握这些性质的含义与 实质,就能运用自如例如本例中的函数f(t)还可以改写为 f(t)=u(tte cos Bt u(t)te"÷(e [:·n(t)e(1+t·n(t)eo 再分别利用象函数的微分性质去做,读者可以自已做一下 例1-3求下列函数的 Fourier逆变换 (1)F()= a cos (t;(2)F(a)=1+jr8(o) 解(1)求一个函数的 Fourier逆变换,通常可用 Fourier逆 变换公式,结合 Fourier变换的某些性质来完成,有时也会用到 些常用函数的 Fourier变换的结果或借助于 Fourier变换表来完 成 方法1利用 Euler公式, Fourier变换的位移性质及徽分性 质得到结果因为 cos ol eute io) 而我们已经知道8(t)]=1,由位移性质可得 [6(t+t)] 红8(t-t)] 所以由线性性质,有 G" Lcos to=3[8(t+to)+(t-to) 如设((a)=g(t)]= coS wt,则由微分性质,有 lg(c)]=jw[g(t)1=jocos at 从而
8 第一章 Fourier变换 (t)= f [jwcos wl ]=j [acos at. 即 F [acos o]=8(r):I L6(t+lo)+8(t-t0)] 方法2利用 Fourier变换的对称性质(见第一章习题三第2 题结论)及象函数的微分性质也可以得到结果.已知F(ω) f(t)]= w coS at,由 Fourier变换的对称性质:若F(a)= f(t)],则f(±c) F(+t)e -jon dt. 即[F(+t)]= 2πf(±ω),现将F(a)= ocos (,中的ω换成-t,有 F(-t)]=-tcos(-t) t cost tu t 令g(t)=cos(t0t),我们已绘知道 (au)=oos(tot)]=πa(ω+to)+(a-to)] 由象函数的做分性质知 纸F(-t)]=-jG'(u)=-j[8"(o+to)+8(a-to)l 此即 2rf(u)=-jr[8(u+t)+8(m-t) 再将变量a换成t,则有 f(2)=F(o)=D[a(t+t0)+8(t-t)] (2)利用常见函数的 Fourier变换可以求得结果,由 F(a)1=(1)=[10+i(o) 1+y3 我们已经知道(如见附录I中的公式(27))[t]=2xδ(a),即t =2x[8(a)],所以 jr[8(a)]=5
例题分析 而洲sgnt]=2(见第一章习题二第8题),所以 ]=22]=2 因此 f(t)=,[F(o)]=7(sgn:+t) 由于符号函数sgnt可以用单位阶跃函数(t)来表示,即 sent ut t 所以这个结果可以写为 1 f(t)=[t(t)-t(-t)+t 或 这个结果还可以写成分段函数的形式,即 (t+1),t>0 ∫(t) (t-1),t<0 例1-4求满足下列方程的解 「1,0≤t<1 (1)|y(a) cos atd=f(t),其中f(t)={2.1≤t<2 0,t≥2 ∞</<+ˇy(t)dt=h(t),其中h(t)为已知函数,且 (2)y(t) 解(1)这是一个含未知函数y(a)的积分方程.从方程的左 端可以看出,我们能够利用 Fourier余弦变换公式直接求得结果 这里提供两种方法