40 第一章 Fourier变换 (1)微分、积分方程的 Fourie变换解法 运用 Fourier变换的线性性质、微分性质和积分性质,对欲求 解的方程炳端取 Fourier变换,将其转化为象函数的代数方程,通 过解代数方程与求 Fourier逆变换就可得到原方程的解这种解法 如下图所示意: 象原函数Fore变拇象函效 (方程的解 解代数方程 微分、积分取 Fourier变换!象函数的 方程 代数方程 (2‘)偏微分方程的 Fourier变换解法 运用 Fourier变换求解偏微分方程的定解问题类似于上述示 意图中的三个步骤,即先将定解问题中的未知函数看作某一自变 量的函数,对方程及定解条件关于该自变量取 Fourier变换,把偏 微分方程和定解条件化为象函数的常徽分方程的定解问题;冉根 据这个常微分方程和相应的定解条件,求出象函数;然后再取 Fourier逆变换,得到原定解问题的解.这里,要求变换的自变量在 (-∞,+∞)内变化;如要求变换的自变量在(0,+∞)内变化,则 根据定解条件的情形可运用 Fourier正弦变换或 Fourier余弦变换 来求解该偏微分方程的定解问题 二例题分析 例1-1试求函数f(2)=|t,|ti≤1 o,其他的 Fourier F分表达式 解在 Fourier积分定理的条件下,函数f(t)的 Fourier积分 表达式,可以用复数形式,也可以用三角形式来表达;由于函数
例题分析 f(t)是(-∞,+∞)上的奇函数,还可以用 Fourier正弦积分公式 来表达;如果读者已纶掌握 Fourier变换的性质,则可根据教材第 章§1.I中的例1,利用象函数的微分性质求得结果 方法t利用 Fourie积分公式的复数形式,在f(t)的连续点 处,有 ∫[∫r(r)s-ar] r(COS Wt -jsin wr)dr e dck rsin otd= i edw =./ sin a_cos o\(cos at t jsin ot )da sIn a cos dl sin of da,(t≠±1) 当t=±1时,()台f(±1+0)+f(1-0)=±代替 方法2利用 Fourier积分公式的三角形式,在f(t)的连续点 处,有 f(r)cos a(t- t)dr d rcos c(t-t)dtd r(cos (u! cos (or sin wl sin or )dr d sin ati rsin wrd= da sIn a C()s ( sin at d,(t≠亡1) 同样,当t=±1时,f(t)应以t代替 方法3由于f(t)为(-∞,+∞)上的奇函数,也可以利用
12 第一章 Fourier变换 Fourier正弦积分公式,在f(t)的连续点处,有 f()si n otdr s11 d TsIn aTdt sin t sin t) COS 当!=±1时,f(t)也应以±代替 方法4利用象函数的微分性质,如记教材第一章§1.1例1 中的函数为g(t) lo,其他。令 g(t g(r)e dz=2 cos azd 显然,本例中的函数f(t)=tg(t)根据象函数的微分性质(也称 为象函数的导数公式):('(u)=-jtg(t门,即 开f(t)]=tg(t)]=-((a) 少;/snc-cs 从而,由 Fourier积分公式的复数形式,在f(t)的连续点处有 SIn Cos c SIn (cos col t jsin ol )d sin dU CO\ ot d e 当t=±1时,f(t)应以±代替 根据上述结果,我们可以得到 t!<1 sin Cos sin wt dw
二例题分析 换言之,根据f(t)的 Fourier积分公式,可以推证出一些广义积分 的结果、这也是含参量广义积分的一种巧妙的解法.(另外,某些类 型的广义积分还叮以利用 Fourier变换中的能量积分,终值定理及 象函数的微分性质求得结果)通过上述解法,我们不仅掌握了各 种求解方法,而且还可以对各种方法进行比较,从而更好地理解利 掌操 Fourier积分公式的含义和某些用途 例1-2求函数f(t)=u(t)te"csB的 Fourier变换,其 中a>0 解求一个函数的 Fourier变换,可以按定义直接做,也以 按 Fourier变换的性质做当然,按后者做有定的技巧性,还要掌 握一些常见函数的 Fourier变换.现分别叙述如下 方法1按 Fourier变换的定义,有 f(t)] (t) Cis Bt e d te os Btd t e d te 利用分部积分法,可得 Fe ( e m-占t j(w-p) dt j(a-8)〕
第一章 Fourier变换 同理, dt 所以 j(au+)」 [a+j(a-B)2[a+i(a+β a千」 方法2利用象函数的微分性质,记g(t)u(t)e"cxsP, Fg(t)1=G;(m),则(;()=-j(t)·-f(t)],而 u (t) Ste dt dt d t 所以 d dol( jCu 方法3利用象数的位移性质,由 d 从而由位移性质知 F[u()e cos it]-:; u(t)e Fiu(()