内容要点 PLu(t)]=:-+ro(w),sgnl= sinωn,t.=jπ[8(ω+∞)-8(a-t)], =x[8(ω+cn)( 3, Fourier变换的物理意义一频谱 (1)非正弦的周期函数fr(t)的频谱 在∫r(t)的 Fourier级数展升式屮,称 a, cos o, t b, sin a, t A, sin (co, t 为第n次谐波,其中a,m=x.A,=,A,=ya2+b 称为频率为ωn的第n次谐波的振幅,在f2(t)的 Fourier级数的复 数形式中第n次诸波为cnc"+c-ne)",并且|cn|=1c.= 2√a+b,从而f(t)的第n次谐波的振幅为 A=2 (a=0、1,2,… 它描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.所谓频谱图,通 常是指频率mn与振幅An的关系图A也称为fr(t)的振幅频谱 (简称为频谱)由于n=0,1,2,…所以频谱A,的图形是不连续 的称之为离散频谱,其频谱图清楚地表明了一个非正弦的周期函 数fr(t)包含了哪些频率分量及各分量所占的比重(如振幅的大 小) (2)非周期函数f(t)的频谱 非周期函数f(t)的 Fourier变换F(a)=f(t)],在频谱分 析中又称为f(t)的频谱函数,它的模!F(ω)称为f(4)的振幅频 谱(简称频谱).由于ω是连续变化的,这种频谱称为连续频谱,频 谱图为连续曲线振幅频谱F(w)是频率c的偶函数;相角频谱 f(t)sin ot dt arctan- 是频率a的奇函数对一个时间 f(t)cos at dt
第一章 Fourier变换 函数作 Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱函数 频谱图能清楚地表明时函数的各频谱分量的相对大小,因 此,频谱图在工程技术中有着广泛的应用、作出一个非周期函数 ∫(t)的频谱图,其步骤如下 1)先求出非周期函数f(t)的 Fourier变换F(w); 2)选定频率ω的一些值,算出相应的振幅频谱|F(c)的值; 3)将上述各组数据所对应的点填人直角坐标系中,用连续曲 线连接这些离散的点,就得到该函数f(t)的频谱图 4. Fourier变换的基本性质 为叙述方便,在下述性质屮,凡是需要求 Fourier变换的函数, 假定都满足 Fourier积分定理中的条件 (1)线性性质设[f1(t)]=F1(u),[f2(t)]=F2(a) ,为常数,则 Tafi(t)+Bf2(t)=aF(a)+PF2(o); aF1(a)+F2(a)]=a/1(t)+B/2(t (2)位移性质设f(t)]=F(u),则 洲f(t±t0)]=eoF(u); [F(aa0)]=f(1)e,(象函数的位移性质) (3)微分性质设f(t)]=F(a),如果*(t)在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点,且limf“(t)=0,k= 0,1,2,…,n-1,则有 红f”(t)]=(ja)"F(a) F")(a)=(-j)t"f(r)],(象函数的微分性质) 待别,当n=1有 红f"(t)]=jaF(a) F(a)=-i ltf(r)] (4)积分性质设[f(t)]=F(),如果当t→+∞时
内容要点 f(t)dt→0,则 f(t)dt F(w 当limg(t)≠0时,有 f(t)dt=F()+πF(0)(a). (S)乘积定理设f(t)]=F;(a),f2(t)]=F2(),则 f1(t)/2(t)d F1(ω)F2(o) /;(t)f2(t)d F,(w)F,(o)dw 其中f(),f2(t),F(ω)及F2(a)分别为f1(t),f2(t), F1(a)及F2(ω)的共轭函数特别,当∫1(t),f2(t)为实函数时, 有f(1)/)t=1「F(m)F2(o)dn F1(a)F2(a) (6)能量积分设f(t)]=F(w),则 1/(:)] dt I F(o)d 这一等式又称为 Parseval等式函数S(a)=|F(a)|2称为能量密 度函数(或称能量谱密度)它可以决定函数∫(t)的能量分布规 律将它对所有频率积分就得到f(t)的总能量,因此, Parseval等 式又称为能量积分.它表明非周期函数f(t)在时间域内的能量与 在频率域内的能量不因f(t)取 Fourier变换后而改变.由于能量 密度函数S(a)是a的偶函数,则能量积分可进一步写为 5.卷积与相关函数 (1)卷积的概念
8 第一章 Fourier变换 f1(t)*f2(t) ∫()f2(tτ)dr,且其运算满足 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(文换律); f;(t)*[f2(t)*f(t)]=f;(t)*f2(t)*f3(t)(结合律}; ∫1(t)*[f2(t)+∫3(t)]-∫(t)*f2(t)+1(t)*/3(t)(分配律); l1(t)*f3(t)≤!f(t)*|/2(t)(卷积不等式 (2)卷积定理设f(t)(k=1,2,…n)满足 Fourier积分定 理屮的条件,且f(t)]=F()(k=1,2,…,n),则 f:(t)“f2(t)*…*f(t)j=F1(o)·F2()…F,(a) 5f1(4)·f2(t)…fn(t)] F1()*F:( Fn(ω)(象函数卷积定理) 特别, f1(t)*f2(t)]=F1(u)F2(a) f;(t),/2(t)=F1(o)*F2( (3)相关函数的概念 相关函数的概念和卷积的概念一样,也是频谱分析中的一个 重要概念,记函数f1(t)和/2(t)的相关函数为 12!r 1(t)/2(t+r)dt 记函数f(t)的自相关函数(简称为相关函数)为 R(T) f(r)f(t+ r)d 显然,R(r)=R(-r):R2(x)=R12(-r) (4)相关函数和能量谱密度的关系 )自相关函数和能量谱密度构成一个 Fourier变换对:R(r) S(c),卧
内容要点 2 S() R(re d 利用R(x)和S(a)的偶函数性质,可进灬步写为 R(z)= S(e)cos orda S(a)= R(rcos ordr R(r)在τ=0时,可得 Parseval等式,即 R(0) S(a)do [f(t)]2 2)互相关函数和互能量谱密度构成一个 Fourier变换对,由 乘积定理(当∫1(t)和/2(t)为实函效时)知 RI(t /(t)2(t F r)dt F(o)F(a)e d 记能量谱密度为S2(ω)=F(ω)F2(a)(而S2(o)= F1(a)F2(o)),则 R12(z) d R( r)e o dt 显然,互能量谱密度有S2(a)=s2(a) 6. Fourier变换的应用 Fourier变换是分析非周期函数频谱的理论基础.它在频谱分 析中有着重要的应用,前商已列出其内容要点.这里的应用主要是 用来求解某些微分、积分方程和偏微分方程(其末知函数为二元函 数的情形)的定解问崽