初始角 偏转角△a 飞机1 飞机2 236.00 0 飞机 220.50 2.14 飞机4 159,00 0.42 飞机5 230.00 0.00 飞机6 偏差平方和 6.98 该程序运行时间为7.2秒 迄今为止,我们尚未讨论时滞对解的影响在模型三中, Planesumt的运行时间是稳定 的,约为4秒左右.用模型二的Slve求粗略最优解耗时在2~4.3秒,随最优解出现位置不 同而改变,加上裕量后我们可以在10秒以内给出最优解,故将时滞定为10秒由假设7,只 需将各架飞机的坐标按原速度方向向前移动10秒内的位移,在此基础上求解即可,这在程 序上实现起来相当简便.考虑时滞后得出的结果如下表所示 初始角ao 偏转角△a 飞机1 243.00 飞机2 飞机3 220,50 飞机4 飞机5 2.13 飞机 00 16 偏差平方和 11.3292 该模型运行结果在精度和耗时两方面都是令人满意的我们建议地面控制台采用比 486DX66快8倍以上的机器,这样就可以进行实时控制了.对题目所给例子给出的第一个最 优解,可以认为即是在实时控制的假设下给出的 六、模型的检验及误差分析 (一)模型检验 模型二用遍历所有可能解的方式得出最优解的,其解(在可能的精度内)的最优性是毋 庸置疑的,故我们可用模型二求出满足精度要求的解来检验模型三的结果 我们对3组数据分别用模型二和模型三进行求解,结果如下 (X0,Y0,a0) △a(Modd2)△a(Modl3) 飞机1 (60,100,270) 6.53 6.55 飞机2 (70,100,270) 5.46 飞机3 (80,100,270) 飞机 (40,100,270) 6.48 飞机6 (0,40,0) 4.30
飞行理问题的实时算法 第一组:为避免侧面碰撞各架飞机都需转动较大的角度,这是较为极端的情况,偏差的 平方和较大,但没有一架飞机需调整的角度在10度以上,弹同的8干 △a( Model2) Aa( Model 3) 机1(670.80,180) 飞机2(60,70,180)2.54 2.58 飞机3(60.6.80)0.36平0.40 飞机4(090.180)全的7,32若于7,3声问法 飞机5 飞机6 (0,80,0) 4,16 4.17 第二组:与第一组类似但可能发生的碰撞是正面的若计二, (X0,Yo,a0) △a(Mod42)Aa(Mode3) 飞机1 (0,70,0) 飞机3(0,60,180)1.91 0到0 飞机4 (40,130,270 0.07 飞机5 (80,5,180) 0.00 飞机6 第三组:四架飞机十字交错而过,另有两架飞机水平飞行,两个模型都给出了较令人满 意的调度 各组数据吻合程度很好,且给出的调整方案也颇为符合逻辑,与一般常识相符,这说明 模型三的算法是可靠的值得指出的是以模型二的较粗略的可行解作为模型三的输入是非 常必要的,这不但使解能快速收敛到指定精度,使计算时间符合要求,而且可以保证所求解 的全局最优性宾州大学教授 James.P. ignizio曾在其所著 Goal Programming and Extensions 中指出“非线性最优化…不具有用于求解问题的比较初等的通用方法,更令人失望的是非 线性最优化不能保证对一个一般的问题找出整体最优解,除非这个问题具有非常特殊的形 式这意味着研究人员必须经常满足于只找出局部的最优解,事实上,即使所采用的方法能 偶然找出整体最优解,往往也很难判别这个最优解是整体的还是局部的.”这就指明了求 的非线性规划问题的全局最优解目前尚无良策.如果没有模型二的输出作为模型三的输 人,要找到全局最优解至少是相当困难的,时间上当然难以满足要求 (二)误差分析 1.建模中的误差 考察模型假设,可知假设9带来一定误差,简单分析后可知,考虑转弯半径使飞行轨迹 在垂直飞行方向上产生一个偏差X x=(1-cs0)R,其中R为转弯半径,0为转角 对最小转弯半径小于10km的中小型飞机,转角小于15度时,偏差 X≤(1-cs15:)×10=0.34km 对最小转弯半径小于为40km的大型飞机,转角小于8度时,偏差 X≤(1-cos8°)×40=0.39km 一应沿氢,量
两种情况下偏差均小于相撞条件8km的5%,可以忽略不计,由于飞行管理中让一架飞 机做大于8度的转向是较少发生的事(由模型一知两架距离为60km的飞机在一条直线上 相对飞行时,也只需一架转7.66度,一架转7.67度即可避免相撞,)故该处假设可以认为是 合理的.下面给出发生极端情形时的一个对策;设一架大型飞机做30度的转弯,此时偏差X =(1-cs30°)×40=5.36km不可忽略在飞机开始转弯后(转弯过程约需1.6分钟)地面 控制站的计算机可算出一条曲率处处大于140的偏转线,以此曲线引导飞机飞回偏转线 这种局部调整法的优点在于计算简单,不对全局的调整角度方案产生影响,特别适用于这种 小概率事件 2.计算误差 模型一、二计算过程中的误差仅来源于机器的截断误差,对于最后结果没有重大影响 模型三计算中的误差来源于 a.建模过程中对目标函数进行替换时 b.用SUMT算法进行计算时 对于a我们对An从0度到10度计算了C2+C以1度基准的相对误差如下表所示 偏差(度)偏差的平方拟偏差相对拟偏差拟偏差相对误差 3.046E-43.046E-4 0 点,3个,21E-3413185310四B三取 l.218E-4 2.741E 4.872E-34.874E-3 ,因5,257.611E-37.615E-35.2E分4 6361,095E211.097E-2111.8E3草三身 加下门m,赚49回语1.491E21.493E21.3E-3a 1.946E=21,949E-25E3 我101003.03E-2306E-22.6E53非出中 车雪生具活个非 补出狂的 相对误差在0.3%以下,这些表明替换函数对最后结果没有显著影购, 对于b我们认为文献(1,(21、(31、[41中提供的算法已考虑了误差间题,在程序中实 际给出了两个误差控制是:相对精度界e1和绝对精度界ε2,当满足 全 2 时程序结束,这保证了解的误差在精度要求以内 阳中查 3,输入误差对结果影响单一结Q经面,芽 通过对输入数据给以小的扰动经大量计算可得如下定性结果:一向许直垂 s.飞机位置有小的扰动对结果影响甚微,扰动增大时影响明显.(6∞-1)= b.飞机方向角的扰动对结果影响显著,扰动大小与结果变化幅度基本是在一个数量级 上 以上结果说明为保证结果的准确性应尽量减小对飞机方向角测量的误差,同时对飞机 位置测量的误差也应控制在一定范围以内
飞行管理问题的实时算法 架飞 上 七、模型的评价及推广十的 为是 (一)模型的评价 差X 模型三是我们得到的主要结果,该模型可对区域内任意位置、方向的6架以内的飞机给 地面 出调整对策.如果飞机管理的计算机计算速度比486DX66快10倍左右,则可实现实时控 我种 制.因而具有计算时间短、精度高的特点,实用性强,较为完满地解决了原始问题.建模过程 中用到的非线性规划方法具有一般性,容易作出推广,缺点是当飞机数目增多时,非线性规 划的规模增大了,计算时间增长较快,幸好对假设的分析表明这种情况是很少发生的 (二)模型的推广(略) 响 参考文献 1.D. M. Himmelblau,实用非线性规划 2.JL.,Lims,非线性边值问题的一些解法 所示 3.D.G. Luenberger,线性与非线性规划引论 4.程极泰,最优设计的数学方法 5.邓乃场,无约束最优化计算方法 顾其行,国际航空运输管理 7. James P. Lgnizio, Goal Programming and Ext 数学的应用是多种多样的,从原理上讲,数学方法的应用范围是无边际的,即物质的所 有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。 用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。 A.N.柯尔莫哥洛夫 《当代数学大师》,李心灿编,航空工业出版社,1994。 中实 三并因,国由 量级 飞机