6z06a.nb y1(x)=m)ax,a≠0,y2(x)=kpnx)hx+m)bx,b≠0 (1.21 其中6可能为零或非零。可以猜想 0时:与可能线性无关,例组y+xy+-:y=0 40时:ya*与x2x可能线性相关,例如整数阶Bst程(见下一节) 综合以上的讨论,对正则奇点, Frobenius& Fuchs定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x)=m)ax,ao≠0 (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定,可能仍然是上式形式,也可能如(1.20)或(121)的是带对数形式 这就给实际应用带来不便,因而,对正则奇点,通常是利用 Frobenius& Fuchs定理,求形如上式的第一个解 再利用 Wronskian行列式,由第一个解,求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解 如何求出形如(1.22)的第一个解?代入微分方程,求出各系数ak之间的关系。将在下两节讨论 Q解的解析延拓 通常,对二阶线性齐次常微分方程,人们总是在常点或正则奇点的邻域求解,为求方程在更大区域的解,需要做解析延 这就需要解决两个问题: 1.一个解w1经解析延拓成为1,后者还是不是原微分方程的解? 2.两个线性无关解w1,w2经解析延拓成为帝1,2,是否依然是线性无关? 以下例题回答着两个问题。 目例题:设w1是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的解,ⅳ是w1在区域G2内的解析延拓 试证1仍是原微分方程的解。(可看成微分方程在区域G2内的解 证明:为叙述简便,仅对〓=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 2w”+=g()w+h(-)w=0,因=0是常点或正则奇点,故g()和hx)在二=0点解析 设前满足:二2前+二g(-)的+h=)1=q(),需要证明〓∈G2时,q()=0 3=G1∩G2 因为節是w1在G2的解析延拓,故前在G2除孤立奇点之外解析 而g(-),H(-)也在G2除孤立奇点之外解析,故:q(-)在G2除孤立奇点之外解析 又由于ⅳ1是w1在G2的解析延拓,必存在G3=G1∩G2,在G3内,=w1 因G3=G1∩G2∈G1, 故对∈G3:w1是微分方程的解,=2w"+=8(2)w+h()w1=0 ∈G3,i1=w z2i"+〓8()的+h()1=0 即:对∈G3,q()=0,由解析函数的唯一性,对=∈G2,q()=0
y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2 k=0 ∞ bk xk，b0 ≠ 0 (1.21) 其中 κp 可能为 零 或 非零。可以猜想 ： κp = 0 时： xρ1 k=0 ∞ ak xk 与 xρ2 k=0 ∞ bk xk 可能线性无关 ，例如：x2 y″ + x y′ + x2 - 1 4 y = 0 κp ≠ 0 时： xρ1 k=0 ∞ ak xk 与 xρ2 k=0 ∞ bk xk 可能线性相关 ，例如整数阶Bessel方程 （见下一节 ） 综合以上的讨论，对正则奇点，Frobenius & Fuchs 定理告诉我们必然有一个解为如下形式 y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, (1.22) 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定，可能仍然是上式形式，也可能如 (1.20) 或 (1.21) 的是带对数形式。 这就给实际应用带来不便，因而，对正则奇点，通常是利用Frobenius & Fuchs 定理，求形如上式的第一个解， 再利用 Wronskian 行列式，由第一个解，求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解。 如何求出形如 (1.22) 的第一个解？代入微分方程，求出各系数 ak 之间的关系。将在下两节讨论。 解的解析延拓 通常，对二阶线性齐次常微分方程，人们总是在常点或正则奇点的邻域求解，为求方程在更大区域的解，需要做解析延 拓。 这就需要解决两个问题： 1. 一个解 w1 经解析延拓成为 w 1，后者还是不是原微分方程的解？ ✓ 2. 两个线性无关解 w1, w2 经解析延拓成为 w 1, w 2，是否依然是线性无关？ ✓ 以下例题回答着两个问题。 ☺ 例题：设 w1 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的解， w 1是 w1 在区域 G2 内的解析延拓， 试证 w 1仍是原微分方程的解。（可看成微分方程在区域 G2 内的解） 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。 设 w 1 满足： z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = q(z)，需要证明 z ∈ G2 时，q(z) = 0 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 因为 w 1 是 w1 在 G2 的解析延拓 ，故 w 1 在 G2 除孤立奇点之外解析 ， 而 g(z), h(z) 也在 G2 除孤立奇点之外解析 ， 故：q(z) 在 G2 除孤立奇点之外解析 。 又由于 w 1 是 w1 在 G2 的解析延拓 ，必存在 G3 = G1 ⋂ G2，在 G3 内， w 1 = w1 因 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1， 故对 z ∈ G3：w1 是微分方程的解 ，z2 w1 ″ + z g(z) w1 ′ + h(z) w1 = 0 对 z ∈ G3， w 1 = w1 ⟹ z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = 0 即：对 z ∈ G3，q(z) = 0，由解析函数的唯一性 ，对 z ∈ G2，q(z) = 0 6 z06a.nb
z06a.nba 即:对z∈G2,2订+8()的+和()前=)=0≡仍是原齐次微分方程的解 目例题:设m1和w2是二阶线性齐次常微分方程在区域G1内的两个线性无关解, 1和前2分别是w1和2在区域G2内的解析延拓,试证前1和2仍然线性无关。 证明:为叙述简便,仅对z=0邻域进行讨论。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2w”+g(=)w+h(-)w=0,因二=0是常点或正则奇点,故g(=)和h()在二=0点解析。 由上例知,前1和前2仍原齐次微分方程的解。如何判断两个函数线性无关? 若w1与w2线性相关,则2=cw1,从而w1和w2的 Wronskian行列式为0。证明如下 W(v1,w2)≡ W1 Cl 若w1和w2的 Wronskian行列式为0,则wn1与w2线性相关,证明如下 m吗一n听=0=咝==mn=hW+→n=cm 故 Wronskian行列式为0是线性相关的充要条件(对2个以上的函数也是如此)。 现在需要从W(w1,w2)≠0证明W(W1,i2)≠0。利用解析函数唯一性定理。 G3=G1∩G2 令W(i1,2)=q(),显然q()在G2内是解析函数。现需要证明z∈G2时,q()≠0 用反证法:(与上一例题不同,这里要证明q(2)≠0,而非q()=0,故用反证法) 由于在G3=G1∩G2∈G1,w1与2线性无关,前1=W1,前2=2=W(1,前2)=W(1,w2)≠0, 若和前2线性相关,只能在区域G2\G1内线性相关。(G2\G1表示G2挖去G3剩下的部分 现在就设ⅳ1和在区域G2\G1线性相关,即:=∈G2\G1时,q()≡W(1,j2)≡0 由于q(x)在G2内是解析函数,在G2\G1区域q(2)≡0必导致在整个G2区域q(x)=0 从而在G3=G1∩G2∈G1,q(=)=0,这与在G3区域W(1,2)=W(甲1,w2)≠0矛盾。 故:W(1,2)在整个G2区域不为零,即前和2在整个G2区域线性无关 这两个例题表明,可以在一个小区域求微分方程的(线性无关)解,再通过解析延拓,得到大区域的(线性无关)解 当然,前提是微分方程在大区域内存在解析解。 63方程常点邻域的级数解 上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式,本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解 求以下 Legendre方程在x=0邻域的解,l为已知常数 (1-x)y"-2xy+l+1)y=0,px)= (1.23) 显然:x=0是方程的常点。由 Frobenius and fuchs定理,常点邻域存在两个如下形式的线性独立解 (x)=Sx,其中:c*0,在x=0点的邻域<1
即： 对 z ∈ G2，z2 w 1 ″ + z g(z) w 1 ′ + h(z) w 1 = q(z) = 0 ⟹ w 1 仍是原齐次微分方程的解 。 ☺ 例题：设 w1和 w2 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的两个线性无关解， w 1 和 w 2 分别是 w1 和 w2 在区域 G2 内的解析延拓 ，试证 w 1 和 w 2 仍然线性无关 。 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析。 由上例知 ， w 1 和 w 2 仍原齐次微分方程的解 。如何判断两个函数线性无关 ？ 若 w1 与 w2 线性相关 ，则 w2 = c w1, 从而 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0。证明如下 ： W(w1, w2) ≡ w1 w2 w1 ′ w2 ′ = w1 c w1 w1 ′ c w1 ′ = 0 若 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0，则 w1 与 w2 线性相关 ，证明如下 ： w1 w2 w1 ′ w2 ′ = w1 w2 ′ - w2 w1 ′ = 0 ⟹ w2 ′ w2 = w1 ′ w1 ⟹ ln w2 = ln w1 + c ⟹ w2 = c w1 故 Wronskian 行列式为 0 是线性相关的充要条件 （对 2 个以上的函数也是如此 ）。 现在需要从 W(w1, w2) ≠ 0 证明 W( w 1, w 2) ≠ 0。利用解析函数唯一性定理 。 G1 G2 G3 G3 = G1 ⋂ G2 令 W( w 1, w 2) = q(z)， 显然 q(z) 在 G2 内是解析函数 。现需要证明 z ∈ G2 时，q(z) ≠ 0 用反证法 ：（与上一例题不同 ，这里要证明 q(z) ≠ 0，而非 q(z) = 0，故用反证法 ） 由于在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，w1 与 w2 线性无关 ，w 1 = w1, w 2 = w2 ⟹ W(w 1, w 2) = W(w1, w2) ≠ 0， 若 w 1 和 w 2 线性相关 ，只能在区域 G2 \ G1 内线性相关 。（G2 \ G1 表示 G2 挖去 G3 剩下的部分 ） 现在就设 w 1 和 w 2 在 区域 G2 \ G1 线性相关 ，即：z ∈ G2 \ G1 时，q(z) ≡ W( w 1, w 2) ≡ 0 由于 q(z) 在 G2 内是解析函数 ，在 G2 \ G1 区域 q(z) ≡ 0 必导致在整个 G2 区域 q(z) ≡ 0 从而在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，q(z) ≡ 0，这与在 G3 区域 W (w 1, w 2) = W(w1, w2) ≠ 0 矛盾。 故：W( w 1, w 2) 在整个 G2 区域不为零 ，即 w 1 和 w 2 在整个 G2 区域线性无关 。 这两个例题表明，可以在一个小区域求微分方程的（线性无关）解，再通过解析延拓，得到大区域的（线性无关）解。 当然，前提是微分方程在大区域内存在解析解。 6.3 方程常点邻域的级数解 上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式，本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解。 求以下 Legendre 方程在 x = 0 邻域的解，l 为已知常数。 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0， p(x) = - 2 x 1 - x2 , q(x) = l(l + 1) 1 - x2 (1.23) 显然：x = 0 是方程的常点。由 Frobenius and Fuchs 定理，常点邻域存在 两个如下形式的线性独立解 y(x) = k=0 ∞ ck xk, 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x < 1 z06a.nb 7