北京化工大学：《微积分》课程授课教案（专题讲稿）工科数学分析专题——函数项级数

幂级数 0 形如∑an(x-x)”的级数称为幂级数，。∈R,其中an为幂级数系数 n=0 作变量替换X=x-x,级数∑a(x-x)”化为∑a,X” n=0 例1、x在(-1,1)绝对收敛发散域(-0，-1U[,+) 1=0 例2、在(-0，)止绝对收敛 nn! 例3∑nlx只在x=0处收敛 1=0

幂级数 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , , , ( ) n n n n n n n n n n x a X x x x x a x x a X a              形如  的级数称为幂级数  其中 为幂级数系数 作变量替换 级数 化为 0 0 0 1 ( 1,1) ; ( , 1] [1, ) 2 ( , ) ! 3 ! 0 n n n n n n x x n n x x                 例 、 在 绝对收敛 发散域  例 、 在 上绝对收敛 例 、 只在 处收敛

幂级数的收敛性(Abel定理) 如果幂级数∑a,在点x=x(x≠0)处收敛，那么它必在区间< n=( 中绝对收敛，如果∑a,x在点x=x处发散，那么它必在>x发散 证明：∑a,x收敛lima,x”=0,3M,使得a,xo≤M(n=0,12,…） b-bxhas 收敛∑口，x收敛即级数∑a,x收敛

幂级数的收敛性（Abel定理）   0 0 0 0 1 1 0 0 n n n n n n a x x x x x x a x x x x x            如果幂级数 在点 处收敛，那么它必在区间 中绝对收敛，如果 在点 处发散，那么它必在 发散 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , lim 0, , ( 0,1,2, ) 1 , , , ; n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x a x a x M a x M n x x a x a a x M x x x M a x a x x x x x                             证明： 收敛 使得 当 时 等比级数 收敛 收敛 即级数 收敛

幂级数的收敛半径和收敛区间 对于幂级数∑a,r,令p=m回可则当0≤p<+o水)时，幂级数 ∑a,x绝对收敛，因而也收敛，当0<p<+0,>。时，幂级数发散 其中R=1 为收敛半径，区间(-R,R)称为收敛区间，当p=O时， p R=+00, 收敛区间为全实轴；当p=+0,收敛半径为零，级数只在 x=0收敛 注：若幂级数∑ax的系数满足lim =1,则级数的收敛半径R=} k= k+ ak

幂级数的收敛半径和收敛区间   1 1 1 , , 0 , 1 0 , l m 1 0 i 0 k k k k k k k k k a x x a x x R a R R R x                                 对于幂级数 令 则当 ， 时 幂级数 ，因而也收敛，当 ， 时，幂级数发散 其中 为收敛半径，区间 称为收敛区间，当 时， ，收敛区间为全实轴；当 ，收敛半径为零，级 绝对 数只在 收敛 收敛 1 1 1 lim , k k k k k k a a x l R a l     注：若幂级数 的系数满足   则级数的收敛半径

例 02-y若a豆-mr:(62号a2-y岁x- 2n-1 1、,p=lim =lim n =1∴.R=1 n→x n→on+1 当x=时，级数为2 该级数收敛 =1 n 当x=-1时，级数为2 该级数发散 n=1 n 故收敛区间时(1，-1]

例   1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 2 1 (1) ( 1) ; (2) ( ) ; (3) ; (4) ( 1) ( ) ; ! 2 ln( 1) (5) (6) 1 (7) ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x nx x n n n x n x x n n                                  1 1 1 1 lim lim 1 1 1 ( 1) 1 , , 1 1 , , (1, 1] n n n n n n n a n R a n x n x n                      、 当 时 级数为 该级数收敛 当 时 级数为 该级数发散 故收敛区间时

幂级数的运算性质 1、设∑a,x和∑b,x的收敛半径各为R和R,令R=min{R,R}则在 7=0 它们公头的收敛区(R,上，有2ax+26,r=立a,+h)x (a,r)-(,x)=(ab+ah++ah)x 2∑a,x的收敛半径为R,0<R≤+o,则它在其收敛区间(-R,R)内的任 何闭子区间[a,b]上都是一致收敛的 3、幂级数∑a,x的和函数为S(x),收敛半径为R,则S(x)在收敛区间 =0 (-R,R)内是连续的、可积的、且有连续的导数并可以逐项求积分、逐 项求导数

幂级数的运算性质       1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 , min , ( , ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x b x R R R R R R R a x b x a b x a x b x x a b a b a b                                        、设 和 的收敛半径各为 和 令 ，则在 它们公共的收敛区间 上，有 ， 0 2 ,0 ( , ) [ , ] n n n a x R R R R a b   、 的收敛半径为     ，则它在其收敛区间 内的任 何闭子区间 上都是一致收敛的 0 3 ( ), ( ) ( , ) n n n a x S x R S x R R    、幂级数 的和函数为 收敛半径为 ，则 在收敛区间 内是连续的、可积的、且有连续的导 逐项求积分、逐 项 数并可以 求导数