例 研究级数x+(x2-x)+(x3-x2)+…+(x”-x-)+…的收敛性 解：S(x)=limS(x)=limx” x<1, n-oo 1 x=1. 当x=-1时，Sn(-1)=(-1)”,当x>1时，Sn(x)=x”→∞ 故该级数的收敛域为(-1,0]，发散域为(-o,-]U(1,+∞)
例 2 3 2 1 ( ) ( ) ( ) n n x x x x x x x 研究级数 的收敛性 0, 1, ( ) lim ( ) lim 1, 1. 1 ( 1) ( 1) , 1 ( ) ( 1 0] ( , 1] (1, ) n n n n n n n n x S x S x x x x S x S x x 解: 当 时， 当 时， 故该级数的收敛域为 ，，发散域为
函数项级数的一致收敛性 设2，(x是定义在区间D上的一个函数项级数，S,()=4,() k=1 记它的部分和，如果存在一个函数S(x):D→R满足 Vs>0,3N∈N,n>N,Vx∈D,Sn(x)-S(x)<& 就称级数∑4，(x)在D上一致收敛到S(x) n=1 y=S(x)+8 27 y=S(x) y=S,(x) y=S(x)-ε
函数项级数的一致收敛性 X y o D y S x ( ) y S x ( ) y S x ( ) ( ) n y S x 1 1 1 ( ) , ( ) ( ) ( ) : 0, , , , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n k n k n n n u x D S x u x S x D N n N S x S x x u x D S D x 设 是定义在区间 上的一个函数项级数 记它的部分和,如果存在一个函数 满足 就称级数 在 上一致收敛到
例 (n-1)x 1+(n-1)2x2 在区间(0,1)和(1，+0)上的 一致收敛性 解，x5(国1价→0当1时-器 n'x2nx n 放国子0，当0<时-古-分故（怀-致收敛于和
例 2 2 2 2 2 2 ( 1) 0 1) 1 + ) 1 1 1 ( 1) n x nx n x x n x n x 讨论 在区间（ ，和（ ， 上的 一致收敛性 2 2 2 2 1 1 , ( ) 0, 1 ( ) 0 , 1 1 1 1 ( ) 0 0 1 ( ) 0 , ( ) 0 1 1 2 n n n n n nx nx x S x x S x n x n x nx n S x x S S x n 一致 解： 当 时， 故 ，当 时， 故 不一致收敛于
Cauchy收敛原理 定义在D上的级数∑u,(x)一致收敛的充要条件是 n=】 s0 Vat.Vp.pcK.当nv三aae 证明：必要性：Sn+p(x)-S,(x)≤Sn+p(x)-S(x)+Sn(x)-S(x 充分性：由数列Cauchy!收敛原理，对任意固定的x∈D,部分和序列 S(收敛，设其极限函数为s在斗，()-S(训-三4（✉中令 p→o,立即得到一致收敛性
Cauchy收敛原理 1 1 ( ) 0, , , , ( ) n n n p k k n D u x N n p n N x D u x 定义在 上的级数 一致收敛的充要条件是 ，当 时 ， 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cauchy ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) , n p n n p n n p n n p n k k n S x S x S x S x S x S x x D S x S x S x S x u x p 证明：必要性： 充分性：由数列 收敛原理，对任意固定的 ，部分和序列 收敛，设其极限函数为 在 中令 立即得到一致收敛性
一 致收敛的Weierstrass判别准则 级数∑4，(x)定义在D上，如果存在收敛的正项级数∑Mn,满足 n- n= 4,(x≤Mnn=1,2,…,x∈D,那么级数∑，(x)在D上一致收敛 证明：4n1(x)+4H2()+…+4+p(x) ≤un(+un2(x+…+n+p()≤Mnl+Mn2++Mnp<E
一致收敛的Weierstrass判别准则 1 1 1 ( ) , ( ) 1,2, , ( ) n n n n n n n n u x D M u x M n x D u x D 级数 定义在 上，如果存在收敛的正项级数 满足 ， ，那么级数 在 上一致收敛 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n p n n n p n n n p u x u x u x u x u x u x M M M 证明：