三、典型例题 (一)向量的线性组合 例1把向量表成1a2;a3,a4的线性组合: (1)B=(0.0.0,1),a1=(.1.0.1),a2=(2,3.1),a3=(,.0.0), 1) B=(1,2,1,1) (1,1,1,1)a2=(1,1,-1,1)a3=(1,-1,1,-1) (1,-1,-1,1) 解(1)设B=ka1+k2a2+k 得方程组 0 k1+k2+k3+k4=0 k1+k2 解之得 所以 (2)设 B=k,a,+k2a2+k3 a3+k4 则得 k1+k2+k3+k4=1 k2-k3-k4 k1-k2+k3一k=1 解之得 B 所以 例2设向量B可由向量组1a2a3ar线性表出,试证:表式唯一的充要条件是
三、典型例题 （一）向量的线性组合 例 1 把向量 表成 1 2 3 4 , , , 的线性组合： （ 1 ） = (0, 0, 0, 1) , (1, 1, 0, 1) 1 = , (2, 1, 3, 1) 2 = , (1, 1, 0, 0) 3 = , (0, 1, 1, 1) 4 = − − ； （2） = (1, 2, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) 1 = , (1, 1, 1, 1) 2 = − , (1, 1, 1, 1) 3 = − − , (1, 1, 1, 1) 4 = − − . 解 （1）设 11 22 33 4 4 = k + k + k + k 得方程组 + − = − = + + + = + + = 1 3 0 0 2 0 1 2 4 2 4 1 2 3 4 1 2 3 k k k k k k k k k k k k 解之得 1, 0, 1, 0 k1 = k2 = k3 = − k4 = 所以 = 1 − 3 . （2）设 11 22 33 4 4 = k + k + k + k , 则得 − − + = − + − = + − − = + + + = 1 1 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 k k k k k k k k k k k k k k k k 解之得 4 5 k1 = 4 1 k2 = 4 1 k3 = − 4 1 k4 = − 所以, 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 = + − − 例 2 设向量 可由向量组 r , , , , 1 2 3 线性表出, 试证：表式唯一的充要条件是
a1,a2,,r线性无关 证充分性:设有 B=ka,+k2a2+ B=ha+l2a 由上述两式得 (k1-1)x2+(k2-l2)2+…+(k,-l)n=0 由a1,a2,…,线性无关知,仅有 k1-1=k2-l2 k-l=0 k1=l1,k2=l2,…,k=l 即表式唯一 必要性:设有 2a2 考虑 xa t xa2 xG1=0 由上两式可得 B=(k1+x1)a1+(k2+x2)a2+…+(k,+x 因表式唯一,故有 k 所以仅有x1=x2=…=x=0,故a12,…线性无关 例3设向量B可由向量组a2,a线性表示,但不能由,a2a-1线性表出,试 证 (1)a不能由向量组a1,a2,,a1-1线性表出; (2)能由1a2,a-1,B线性表出
r , , , 1 2 线性无关. 证 充分性：设有 r r = k11 + k2 2 ++ k r r = l 11 + l 22 ++ l 由上述两式得 (k1 − l 1 )2 + (k2 − l 2 )2 ++ (kr − l r ) r = 0 由 r , , , 1 2 线性无关知, 仅有 k1 − l 1 = k2 − l 2 = = kr − l r = 0 即 r r k = l , k = l , , k = l 1 1 2 2 即表式唯一. 必要性：设有 r r = k11 + k2 2 ++ k 考虑 0 x11 + x22 ++ xr r = 由上两式可得 r r r = (k1 + x1 )1 + (k2 + x2 )2 ++ (k + x ) 因表式唯一, 故有 r r r k + x = k , , k + x = k 1 1 1 所以仅有 x1 = x2 = = xr = 0 , 故 r , , , 1 2 线性无关. 例 3 设向量 可由向量组 r , , , 1 2 线性表示, 但不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 试 证： （1） r 不能由向量组 1 2 1 , , , r− 线性表出； （2） r 能由 1 2 1 , , , r− , 线性表出
证(1)反证法.若r可由1,a2,,a-1线性表出,设 a,=h,a,+ k,a2 又B可由a1a2线性表出,设 B=l1a1+l2a2+…+la 将上述前一式代入后一式中,可知B可由,a2,2-1线性表出,矛盾.故不能由 a1,a2,,ar-1线性表出. (2)因B可由a1,2,线性表出,可设 B=la+l2 由B不能由1a2,灬-线性表出知必有 故有 ar 即ar可由a1 ax-1,B线性表出 知a1=(,0,2,3) (1,-1,a+2,1) a4=(1,2,4,a+8)B=(1,1,b+3,5) (1)ab为何值时,B不能表成1a2,(3,a4的线性组合? (2)ab为何值时,B有a,a2a34的唯一的线性表达式?并写出该表达式? 解设B=xa1+x2a2+x3a3+x4a4,则 x1+3x2+(a+2)x3+4x4=b+3 3x1+5x2+x3+(a+8)x4=5 B能否表成a1,,4的线性组合,转化为上述方程组是否有解的问题,由
证 （1）反证法. 若 r 可由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 设 r = 1 1 + 2 2 + + r−1 r−1 k k k 又 可由 r , , , 1 2 线性表出, 设 r r = l 11 + l 22 ++ l 将上述前一式代入后一式中, 可知 可由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 矛盾. 故 r 不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出. （2）因 可由 r , , , 1 2 线性表出, 可设 r r = l 11 + l 22 ++ l 由 不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出知必有 0 r l 故有 r r r r r r r l l l l l l l 1 1 1 2 2 1 1 = − − − − − + − 即 r 可由 1 2 1 , , , r− , 线性表出. 例 4 已 知 (1, 0, 2, 3) 1 = , (1, 1, 3, 5) 2 = , (1, 1, 2, 1) 3 = − a + , (1, 2, 4, 8) 4 = a + , = (1, 1, b + 3, 5) （1）a, b 为何值时, 不能表成 1 2 3 4 , , , 的线性组合？ （2）a, b 为何值时, 有 1 2 3 4 , , , 的唯一的线性表达式？并写出该表达式？ 解 设 11 22 33 44 = x + x + x + x , 则 + + + + = + + + + = + − + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x a x x x a x x b x x x x x x x 能否表成 1 4 , , 的线性组合, 转化为上述方程组是否有解的问题, 由
01 23a+24b+3 351 2 02-2a+52 000 10 所以当a=-1b≠0时,B不能表成a1,a2,“,a4的线性组合 当a≠-1时,表式唯一,且 例5若向量组a、By线性无关,而a、Bδ线性相关,则δ可由a、B、y线性表出 证由于a、B、y线性无关,因而a、β线性无关.又,a、B、δ线性相关,所以,δ 可由a、B线性表出,设为 d=K,a+K2B 于是=K1a+K2B+0y 故可由a、B、y线性表出 (二)向量组的线性相关性 例1判别向量组的线性相关性,求一个极大无关组和向量组的秩,并将其余向量用该极 大无关组线性表示 (1)a1=(-12,4),a2=(031,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-1,2,0) (2,1,5,6) (1,4,11,-2) (3,-6,3,8) (2,-1,7,3)
+ + + − 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a a b − + + − → 0 2 2 5 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b + + − → 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a a b 所以当 = −1,b 0 时, 不能表成 1 2 4 , , , 的线性组合. 当 a −1 时, 表式唯一, 且 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 + + + + + + + + = − a b a a b a b 例 5 若向量组 、、 线性无关，而 、、 线性相关，则 可由 、、 线性表出. 证 由于 、、 线性无关, 因而 、 线性无关. 又, 、、 线性相关, 所以, 可由 、 线性表出, 设为 = K1 + K2 于是 0 = K1 + K2 + 故 可由 、、 线性表出. （二）向量组的线性相关性 例 1 判别向量组的线性相关性, 求一个极大无关组和向量组的秩, 并将其余向量用该极 大无关组线性表示： （1） (1, 1, 2, 4) 1 = − , (0, 3,1, 2) 2 = , (3, 0, 7, 14) 3 = , (1, 1, 2, 0) 4 = − , (2, 1, 5, 6) 5 = ； （2） (1, 4, 11, 2) 1 = − , (3, 6, 3, 8) 2 = − , (2, 1, 7, 3) 3 = − ；
(3)a1=(1.0.0.0),a2=(.1,0.0),a3=(,1,1,0),a4=(1,1,1,1) 解(1)作 130 421406 0330 03 21「1030 0110 000 01 0000000000 因而秩(a1,a2a3,a4a5)=3<向量个数5,故1,a2a3,a4,a5线性相关,又 010≠0 所以a1,2,4为a1,a2,a3,a4,as的一个极大无关组,且有 (2)作 6 (ai 3 0-30-15000000 因而秩(a1a2a3)=2<向量个数3,故a,a2a3线性相关,又
（3） (1, 0, 0, 0) 1 = , (1, 1, 0, 0) 2 = , (1, 1, 1, 0) 3 = , (1, 1, 1, 1) 4 = . 解 （1）作 − − = = 4 2 14 0 6 2 1 7 2 5 1 3 0 1 1 1 0 3 1 2 ( , , , ) 1 2 3 4 T T T T A − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 2 2 4 2 0 1 1 0 1 0 3 3 0 3 1 0 3 1 2 初等行变换 → → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 1 2 因而秩 (1 ,2 ,3 , 4 ,5 ) = 3 向量个数 5, 故 1 2 3 4 5 , , , , 线性相关, 又 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 1 2 4 , , 为 1 2 3 4 5 , , , , 的一个极大无关组, 且有 3 1 2 = 3 + 5 = 1 + 2 + 4 ； （2）作 − − − = = 2 8 3 11 3 7 4 6 1 1 3 2 ( , , ) 1 2 3 T T T A − → → − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 3 2 0 14 7 0 30 15 0 18 9 1 3 2 因而秩 (1 ,2 ,3 ) = 2 向量个数 3, 故 1 2 3 , , 线性相关, 又