例3某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为anay4a12a13其中ai表示工厂向第i家商店a21a23a24a22发送第i种货物的数量。a34a31a32a33这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：bi1brzb21b22其中b表示第i种货物的单价，b31bs2bi2表示第i种货物的单件重量。b42balD
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例3 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为： 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b
五、矩阵与线性变换n个变量X,X2,,与m个变量J,y2,.,之间的关系式Yi =ax, +a2x, +..-+ainx.yz=a21x,+a2x2+...+a2nxnym=amx+am2x,+...+amx..表示一个从变量x,2,…,x,到变量yi,J2,",线性变换，其中a为常数
表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数. 五、矩阵与线性变换 n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式 1 2 , , , m y y y 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + + + = + + + = + + + ij a 1 2 , , , n x x x 1 2 , , , m y y y 1 2 , , , n x x x
y,=aux,anxy2=ia2i+a2 +..+ia2nym=amtitam2x,+..++a21mn1↓.aia12aina21a22aznA=系数矩阵aamzmlP线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + + + = + + + = + + + 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a = 2
yi=xi,J=×2'称为恒等变换例4线性变换y,=xYi =Xyi =1.x +0.x, +...+0.x.yz = X2'y2 =0.X +1.x2+...+0.x..yn=xnyn,=0.x,+0.x,+...+1.x.对应单位阵E-恒等变换
1 1 2 2 1 2 1 2 0 0 , 0 1 1 0 0 0 1 , n n n n y x x x y x x x y x x x = + + + = + + + = = + + + 例4 线性变换 1 1 2 2 , , n n y x y x y x = = = 称为恒等变换. 1 1 2 2 , , n n y x y x y x = = = 对应 1 0 0 0 1 0 0 0 1 恒等变换 单位阵 En
例52阶方阵y投影变换对应P(x,y)10x, =x,00(Ji = 0.IP(X,J)OTx例62阶方阵对应cosp-sinp[x, = cosox-sinpy,singcosplyi=sinpx+cospy.yP(xpyr)以原点为中心逆时针旋转?角的旋转变换P(x,y)e00x
1 0 0 0 对应 1 1 , 0. x x y = = y 0 x P x y ( , ) 111 P x y ( , ) 投影变换 例5 2阶方阵 cos sin sin cos − 对应 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y = − = + 以原点为中心逆时针 旋转 角的旋转变换 例6 2阶方阵 111 P x y ( , ) P x y ( , ) y 0 x