华东理工大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 特征值问题与二次型

三、特征值和特征向量的性质 L.设n阶方阵A=(a)的特征值为，2，…， 2n,则有 (1)1+2+…+人n=11+22+…+0m 即∑，=r(4) (2)2…n=2=A. 2.设A的特征值对应的特征向量为x,则A的 多项式 (A)=aoI+aA+..+amA" 有特征值p(2)=a+12++0m2",对应的特征 向量仍为x

三、特征值和特征向量的性质 ( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 1. , , , 1 2 n n A aij  =    (2) . 1 1 2 A n i n  i =    =  = 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (1)    2.设A的特征值对应的特征向量为x,则A的 多项式 m (A) = a0 I + a1A++ am A ( ) , 0 1 m 有特征值  = a + a  ++ am 对应的特征 向量仍为 x.  = tr(A) = n i i 1 即 

3.方阵A与A的特征值相同，但特征向量却 未必一样 证：由A-=(A-I)=|A-=0 即4与的特征值同：但若-[0】 则明显A与A'的特征值均为2,2=0，不过， 的待征附量为-日(e40 回

3.方阵A与A T的特征值相同，但特征向量却 未必一样. A − I = (A− I) = A− I = 0 T T 由    , 0 0 0 1       但若取A = 证： 即知A与A T的特征值相同； 则明显A与A T的特征值均为1，2 = 0， 不过， A的特征向量为 ,( 0) 0 1        x = c c 而A T的特征向量却为 ,( 0) 1 0        x = c c

4.设Ax=x,且A可逆，则 0r= (2) 证(2)：当A可逆时，即A≠0时， 由22…几n=A,知2≠0，再由Ax=2x可得 Ax=AIx=A(Ax)=A(Ax)=x 上页

4.设Ax = x,且A可逆，则 ; 1 (1) 1 A x x  = − (2) x. A A x  =  证（2）： 再由Ax = x可得 A (Ax) A ( x) A x    =  =  x A A x   =  当A可逆时,即A  0时, 由 12 n = A，知  0， Ax = AIx =

例5：1=2是非奇异阵4(A=3的一个特征值则 〔 的一个特征值为34， (4)'的一个特征值为23 上页 返回

( ) ( ) _____ . _____ . 3 5 : 2 3 1 * 1 2 的一个特征值为 的一个特征值为 例 是非奇异阵 的一个特征值则 − −         = = A A  A A 3/4 2/3

211） 121的逆阵的 例6 己知a=(1ky为A= 112 特征向量则k=2or1 。a→Aa=2a 即 1 ，K三今3+k=2牛2= 11 上页

( ) , _____ . 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 6 =           = = k k A T 特征向量 则 已 知 为 的逆阵的 例  3 ,2 2 .] 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 [ 1 k k k k k A A           + = + =           =                     =  = − 即 -2or1