第十四章偏导数与全微分 §1.偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数 (1)l=x2ln(x2+y2) (2)u=(x+y)cos(xy): ()u=arctan- (4)l=xy+-; (5)u=xye Sin ,x2+y2≠0 f(x, y) 0. 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3.证明函数 在(,0)点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分 (1)= (2)u=xe-+e+y 5.求下列函数在给定点的全微分: x (1) 在点(1,0)和(0,1) (2)l=ln(x+y2)在点(0,1)和(1,1) (3)=,-在点(11) 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 u x x y = + ln( ) ； (2) u x y xy = + ( )cos( ) ； (3) arctan x u y = ； (4) x u xy y = + ； (5) sin( ) xy u xye = ； (6) y x u x y = + . 2．设 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. y x y f x y x y x y + = + + = 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数 2 2 u x y = + 在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) 2 2 2 u x y z = + + ； (2) yz x u xe e y − = + + . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 2 2 x u x y = + 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 2 u x y = + ln( ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) x u y = 在点(1,1,1)；
(4)n=x+(y-l) arcsin,X在点(0,1) 6.考察函数∫(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 xvsin x2+y2≠0, 0 7.证明函数 y +y2≠0, 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 (x+y)sin 0 的偏导数存在,但偏导数在(0.0)点不连续,且在(0,0)点的任何邻域中无界,而∫在原点(0,0) 可微 f(x,y)=x+p2x2+y2≠0 证明一和在(00点连续 ay 10.设 1-ex2y2) f(x,y)=x'+y 证明∫(x,y)在(0,0)点可微,并求d(0,0) 11.设 x2+y2≠0, f(x,y)= 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 (4) ( 1)arcsin x u x y y = + − 在点（0，1）. 6．考察函数 f x y ( , ) 在(0,0)点的可微性，其中 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. xy x y f x y x y x y + = + + = 7．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + + = + + = 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而 f 在原点(0,0) 可微。 9．设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 证明 f x 和 f y 在(0,0)点连续. 10．设 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 , 0, ( , ) 0, 0. x x y e x y f x y x y x y − + = + + = 证明 f x y ( , ) 在(0,0)点可微，并求 df (0,0). 11．设 3 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x x y f x y x y x y + = + + =
(1)x=x(),y=y()是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0)=0,t≠0时, x2()+y2()≠0,x(1)、y()可微)求证f(x(t),y()可微 (2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设xy很小,利用全微分推出下列各式的近似公式 (1)(1+x)(1+y)” x+ y (2)arctan 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dh恒为零,问f(x,y) 在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设在(xny)存在,在(x0,y)连续,求证f(x,y)在(x02y)可微 5.求下列函数的所有二阶偏导数 (2)l=xy+ x ()u=xsin(x+y)+ycos(x+y): 16.求下列函数指定阶的偏导数: (1)=xsiy+ysm,、 (2)u= arctan 求所有三阶偏导数 xy (3)u=sin(x2+y2),求 a'u 0u (4)u=xyze x+1+二 OxO.a (x≠y),求 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 (1) x x t y y t = = ( ), ( ) 是通过原点的任意可微曲线（即 2 2 x y t (0) (0) 0; 0 + = 时， 2 2 x t y t x t ( ) ( ) 0, ( ) + 、 yt() 可微）.求证 f x t y t ( ( ), ( )) 可微. (2) f x y ( , ) 在(0,0)不可微. 12．设 x y , 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 ) (1 ) ; m n + + x y (2) arctan 1 x y xy + + . 13．设 u f x y = ( , ) 在矩形： a x b c y d , 内可微，且全微分 du 恒为零，问 f x y ( , ) 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设 f x 在 0 0 ( , ) x y 存在， f y 在 0 0 ( , ) x y 连续，求证 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) 2 2 u x y = + ln ； (2) y u xy x = + ； (3) u x x y y x y = + + + sin( ) cos( ) ； (3) xy u e = . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 u x y y x = + sin sin ,求 6 3 3 u x y ； (2) arctan 1 x y u xy + = − ，求所有三阶偏导数； (3) 2 2 u x y = + sin( ),求 3 3 u x ， 3 3 u y ； (4) x y z u xyze + + = ,求 pqr p q r u x y z + + ； (5) x y u x y + = − ( ) x y ，求 m n m n u x y + ；
(6)u=In(ax+bv) t atu ax" ay 7.验证下列函数满足 a·2 (1)l=ln(x2+y2) (2)l=x2-y (3)u=e cos y (4)u=arctan 18.设函数u=(x+v(y),证明 oy 19.设/3,J,在点(x0,y)的某邻域内存在且在点(x,y)可微,则有 f(x0,%)=fx(x,y) §2.求复合函数偏导数的链式法则 1.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)u=f(ax, by): (2)u=f(x+y,x-y) (3)u=f(xy2,x2y) (4)a=f(-,); (5)u=f(x2+y2+2) (6)u=f(x+y,x, 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 (6) u ax by = + ln( ),求 m n m n u x y + . 17．验证下列函数满足 2 2 2 2 0 u u x y + = . (1) 2 2 u x y = + ln( ) ； (2) 2 2 u x y = − ； (3) cos x u e y = ； (4) arctan y u x = . 18．设函数 u x y = + ( ( )) ，证明 2 2 2 u u u u x x y y x = . 19．设 , x y f f 在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内存在且在点 0 0 ( , ) x y 可微，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xy yx f x y f x y = . §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u f ax by = ( , ) ； (2) u f x y x y = + − ( , ) ； (3) 2 2 u f xy x y = ( , ) ； (4) ( , ) x y u f y z = ； (5) 2 2 2 u f x y z = + + ( ) ； (6) ( , , ) x u f x y xy y = +
2.设z=,其中∫是可微函数,验证 fo ax y o 3.设v=-g(t c为常数,函数g二阶可导 a2v avav 1 a2v 证明 4.若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系 f(tx, ty, t)=r"f(x,y, =) 则称∫(x,y,z)为n次齐次函数设∫(x,y,z)可微,试证明f(x,y,=)为n次齐次函数的充要 条件是 f.f.可 5.验证下列各式 (1)l=0(x2+y2),则 (2)u=y0(x2-y2),则 xul (3)u=xp(x+y)+yu(x+y),0u luau, a'u 0 axon ay (4)=x0(2)+0)8:sy2n,Qn.2au 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x= rose,y= raine 下,证明 这时称()2+(-)2是一个形式不变量 8.设函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 2．设 2 2 ( ) y z f x y = − ，其中 f 是可微函数，验证 2 1 1 z z z x x y y y + = . 3．设 1 ( ) r v g t r c = − ， c 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r x y z = + + 。 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y z c t + + = . 4．若函数 f x y z ( , , ) 对任意正实数 t 满足关系 ( , , ) ( , , ) n f tx ty tz t f x y z = ， 则称 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数.设 f x y z ( , , ) 可微，试证明 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数的充要 条件是 ( , , ) f f f x y z nf x y z x y z + + = . 5．验证下列各式： (1) 2 2 u x y = + ( ) ,则 0 u u y x x y − = ； (2) 2 2 u y x y = − ( ),则 u u xu y x x y y + = ； (3) u x x y y x y = + + + ( ) ( ) ,则 2 2 2 2 2 2 0 u u u x x y y − + = ； (4) ( ) ( ) y y u x x x = + ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y + + = . 6．设 u f x y = ( , ) 可微，在极坐标变换 x r = cos ， y r = sin 下，证明 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z x y u v + = + . 这时称 2 2 ( ) ( ) z z x y + 是一个形式不变量. 8．设函数 u f x y = ( , ) 满足拉普拉斯方程