山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第二十章 重积分的计算及应用

第二十章重积分的计算及应用 §1.二重积分的计算 1.将二重积分‖f(x,y)d化为不同顺序的累次积分 (1)D由x轴与 (y>0)所围成 (2)D由y=x,x=2及y=-(x>0)所围成 (3)D由y=x3,y=2x3,y=1和y=2围成 (4)D={(x,y)对+s 2.计算下列二重积分: [35]×[12] 2)cos(x+ydxdy, D=o 2 [0.x (3)Joye*dxdy, D=[a,b]x[c, d] dxdy, D 1+ 3.改变下列累次积分的次序 (1)[df(x 2). dxIrf(x, y)dy 设f(x,y)在所积分的区域D上连续,证明 ∫d,(xy)=小门(xy 5.计算下列二重积分: () Jx"ydrdy(mk>0D是由y2=2px(p>0)x=2围成的区域 第1页共6页

第 1 页 共 6 页 第二十章 重积分的计算及应用 §1. 二重积分的计算 1． 将二重积分 ( , ) D f x y dxdy  化为不同顺序的累次积分： (1) D 由 x 轴与 2 2 2 x y r y + =  ( 0) 所围成； (2) D 由 y x x = = , 2 及 1 y x( 0) x =  所围成； (3) D 由 3 3 y x y x y = = = , 2 , 1 和 y = 2 围成； (4) D x y x y = +  ( , ) 1 ． 2. 计算下列二重积分： (1) ( 2 ) D y x dxdy −  ， D =  3,5 1,2    ； (2) cos( ) D x y dxdy +  ， 0, 0,   2 D     =      ； (3) 2 2 x y D xye dxdy +  ， D a b c d =   , ,    ； (4) 1 D x dxdy + xy  ， D =  0,1 0,1    ． 3. 改变下列累次积分的次序： (1) 2 2 3 0 ( , ) y y dy f x y dx   ； (2) 2 2 1 ( , ) x dx f x y dy   ； (3) 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − +     ． 4. 设 f x y ( , ) 在所积分的区域 D 上连续，证明 ( , ) ( , ) b x b b a a a y dx f x y dy dy f x y dx =     ． 5. 计算下列二重积分： (1) m k D x y dxdy  ( m k, 0  ), D 是由 2 2 ( 0), 2 p y px p x =  = 围成的区域；

(2)xD是由y=0y=sinx,x=0和x=√围成的区域 (3)yo,D:x2+y2≤x dxdy D 5)(x+y)oD由y=c,y=1x=0,x=1所围成 (6)「x3y2dy,D由x=y2x=0,x=2,y=2+x所围成 (7) xc,D是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形 (8) [sinnxdrdy, D由y=x,y=4x和y=4所围成 D 6.求下列二重积分 dx x'e (3)I= a y sinx 7.改变下列累次积分的次序: ady。f(x,y,)d ∫4” f(x, y, =)d= 8.求下列立体之体积 (1)V由 r2,x2+y2+z2≤2rz所确定 (2)V由z≥x2+y2,y≥x2,x≤2所确定 (3)V是由坐标平面及x=2,y=3,x+y+z=4所围成的角柱体 9.用极坐标变换将f(x,y)dd化为累次积分 (1)D:半圆x2+y2≤a2,y≥0 D:半环a2≤x2+y2≤b2,x≥0 第2页共6页

第 2 页 共 6 页 (2) , D  xdxdy D 是由 2 y y x x = = = 0, sin , 0 和 x =  围成的区域； (3) , D  xdxdy D ： 2 2 x y x +  ； (4) , D  xy dxdy D ： 2 2 2 x y a +  ； (5) ( ) , D x y dxdy D +  由 , 1, 0, 1 x y e y x x = = = = 所围成； (6) 2 2 , D  x y dxdy D 由 2 x y x x y x = = = = + , 0, 2, 2 所围成； (7) , x y D e dxdy D +  是以 (2, 2),(2,3) 和 (3,1) 为顶点的三角形； (8) sin , D  nxdxdy D 由 2 y x y x = = , 4 和 y = 4 所围成． 6. 求下列二重积分： (1) 1 1 2 0 y x I dx e dy − =   ； (2) 1 1 2 2 0 y x I dx x e dy − =   ； (3) 2 2 2 2 0 sin y I dy y x dx   =   ． 7. 改变下列累次积分的次序： (1) 1 1 0 0 0 ( , , ) x x y dx dy f x y z dz − +    ； (2) 2 2 1 1 0 0 0 ( , , ) x y dx dy f x y z dz +    ； (3) 2 1 0 1 0 1 ( , , ) x y dx dy f x y z dz    − − ； (4) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , , ) x x x y dx dy f x y z dz −    − − − + ． 8. 求下列立体之体积： (1) V 由 2 2 2 2 2 2 2 x y z r x y z rz + +  + +  , 2 所确定； (2) V 由 2 2 2 z x y y x z  +   , , 2 所确定； (3) V 是由坐标平面及 x y x y z = = + + = 2, 3, 4 所围成的角柱体． 9. 用极坐标变换将 ( , ) D f x y dxdy  化为累次积分： (1) D ：半圆 2 2 2 x y a y +   , 0 ； (2) D ：半环 2 2 2 2 a x y b x  +   , 0 ；

≤a(a>0) (4)D:正方形0≤x≤a,0≤y≤a 10.用极坐标变换计算下列二重积分 Ix ≤x2+y2≤4 ()(x+y)dod,D是圆x2+y2≤x+y的内部 ()jx+y2)d,D由双纽线x2+y)=d(x2-y2x20)围成 (4)‖xhd,D由阿基米德螺线r=和半射线O=x围成 (5)∫xgo,D由对数螺线r="和半射线O=0,O=2围成 11.在下列积分中引入新变量u,,将它们化为累次积分: ()[f(x,y0小若=x+yv=x-y ∫dnf(xy)b b,0<a<B),若u=x y ()J(xy),其中D={(x列+v≤x≥0y20},若 x=ucos v,y=usin 1 (4)』f(xy,其中D={xy)x+y5ax0.y≥0}(a>0),若 x+y=u,y 12.作适当的变量代换,求下列积分 ()J(x2+y2)ad,D是由x2+y2=1围成的区域 (2)J(x+y)drdy, D t y=4x, y=9x, x=4y2 (3)Jxod,D由x=2x=4y=x,y=2x围成 §2.三重积分的计算 1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积: y2=a2,z=0 y2=R2 第3页共6页

第 3 页 共 6 页 (3) D ：圆 2 2 x y ay +  ( 0) a  ； (4) D ：正方形 0 ,0     x a y a ． 10. 用极坐标变换计算下列二重积分： (1) 2 2 sin , D x y dxdy +  D ： 2 2 2 2    +  x y 4 ； (2) ( ) , D x y dxdy +  D 是圆 2 2 x y x y +  + 的内部； (3) 2 2 ( ) , D x y dxdy +  D 由双纽线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( 0) x y a x y x + = −  围成； (4) , D xdxdy  D 由阿基米德螺线 r = 和半射线  = 围成； (5) , D xydxdy  D 由对数螺线 r e  = 和半射线 0, 2    = = 围成． 11. 在下列积分中引入新变量 u v, ，将它们化为累次积分： (1) 2 2 0 1 ( , ) , x x dx f x y dy −   − 若 u x y v x y = + = − , ； (2) ( , ) b x a x dx f x y dy    ( 0 ,0     a b   )，若 , y u x v x = = ； (3) ( , ) D f x y dxdy  ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) +     ， 若 4 4 x u v y u v = = cos , sin ； (4) ( , ) D f x y dxdy  ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) +     ( a  0 ) ， 若 x y u y uv + = = , ． 12. 作适当的变量代换，求下列积分： (1) 2 2 ( ) , D x y dxdy +  D 是由 4 4 x y + =1 围成的区域； (2) ( ) , D x y dxdy +  D 由 2 2 2 2 y x y x x y x y = = = = 4 , 9 , 4 , 9 围成； (3) , D xydxdy  D 由 xy xy y x y x = = = = 2, 4, , 2 围成． §2. 三重积分的计算 1. 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积： (1) 2 2 2 z xy x y a z = + = = , , 0 ； (2) 2 2 2 2 2 , 0, h z x y z x y R R = + = + = ；

(3)球面x2+y2+2=a2与圆柱面x2+y2=ax(a>0)的公共部分 (z>0); (6)z=x2+y2,z=x+y 2.求曲线x+y=所围成的面积 3.用柱坐标变换计算下列三重积分 ()(x2+y2)dod,由曲面=x2+y2,=4=16围成 顶F+y)小在,P由曲面x+=9x+y=1=x+y20 围成 4.用球坐标变换计算下列三重积分 ()∫(x+y+)oht,V:x2+y2+=2≤R2 )∫yF+y+2)ddh,F由x2+y2+2=2围成 (3)川xaxd,V由x2+y2=2,x2+y2+2=8围成 5.作适当的变量代换,求下列三重积分: ()xyd,V由 x+1 6,xy=c, xy=d,y=ax, y= Bx 围成的立体,其中0<a<b,0<a<B; yaxh,V同(1) y dxdydz,V H x=ar, x=b2(=>0,0<a<b), x=ay, x=By (0<a<B)以及x=h(>0)围成 l22aoh,V由x+y+三=1围成; 第4页共6页

第 4 页 共 6 页 (3) 球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与圆柱面 2 2 x y ax + = （ a  0 ）的公共部分； (4) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, x y z x y z a b c a b c + + = + = ( z  0 )； (5) 2 2 2 2 2 , 2 4 9 4 9 x y x y z z = + = + ； (6) 2 2 z x y z x y = + = + , ． 2. 求曲线 2 2 2 2 2 2 x y xy a b c     + =   所围成的面积． 3. 用柱坐标变换计算下列三重积分： (1) 2 2 2 ( ) V x y dxdydz +  ，V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 4, 16 围成； (2) ( ) 3 2 2 V x y dxdydz +  , V 由曲面 2 2 2 2 2 2 2 x y x y z x y z + = + = = +  9, 16, , 0 围成． 4. 用球坐标变换计算下列三重积分： (1) ( ) , V x y z dxdydz + +  V ： 2 2 2 2 x y z + +  R ； (2) ( ) 5 2 2 2 V x y z dxdydz + +  , V 由 2 2 2 x y z z + + = 2 围成； (3) 2 V x dxdydz  ，V 由 2 2 2 2 2 2 x y z x y z + = + + = , 8 围成． 5. 作适当的变量代换，求下列三重积分： (1) 2 2 V x y zdxdydz  ，V 由 2 2 2 2 , , , , , x y x y z z xy c xy d y x y x a b   + + = = = = = = 围成的立体，其中 0 ,0     a b   ； (2) 2 V x yzdxdydz  ，V 同(1)； (3) 4 V y dxdydz  ， V 由 2 2 x az x bz = = , ( z a b    0,0 ) ， x y x y = =   , ( 0     )以及 x h = ( 0) 围成； (4) 2 2 2 2 2 2 x y z a b c V e dxdydz + +  ，V 由 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 围成；

6.求下列各曲面所围立体之体积: (1)z=x2+y2,z=2(x2+y2),y=x,y=x2; (2)(X+2+=1(x20y20.=≥0a>0.b>0.c>0 7.计算下列三重积分 (1)J(+y+=)drdyd-,V: x'+y2+22sa2 dxdyd,V由曲面z=x2+y2,z=1,z=2所围成 (3)川(1+x)x,V由曲面x2=2+y2,x=2,x=4所围成: (4)x3 yEdxdyde,V是由曲面x2+y2+2=1x=0,y=0,z=0围成的位于第 卦限的有界区域; )x2=2ahd,V由曲面=,y=x,=0x=1所围成 6∫ycsx+)dh,是由y=√5,y=0.=0及x+=2所围成的区 §3.积分在物理上的应用 1.求下列均匀密度的平面薄板的质心 (1)半椭圆+,≤1,y≥0 (2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形; (3)r=a(1+cosq)(0≤q≤x)所界的薄板; (4)qy=x2,x+y=2a(a>0)所界的薄板 2.求下列密度均匀的物体的质心: (1)=≤1-x-y,20; (2)由坐标面及平面x+2y-2=1所围成的四面体 3)二=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0围成的立体 第5页共6页

第 5 页 共 6 页 (5) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 x x y x y dx dy z dz − − −    + ． 6. 求下列各曲面所围立体之体积： (1) 2 2 2 2 2 z x y z x y y x y x = + = + = = , 2( ), , ； (2) 2 2 1 x y z a b c         + + =     ( x y z a b c       0, 0, 0, 0, 0, 0 )． 7. 计算下列三重积分： (1) ( ) , V x y z dxdydz + +  V ： 2 2 2 2 x y z a + +  ； (2) , V zdxdydz  V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 1, 2 所围成； (3) 4 (1 ) , V + x dxdydz  V 由曲面 2 2 2 x z y x x = + = = , 2, 4 所围成； (4) 3 , V x yzdxdydz  V 是由曲面 2 2 2 x y z x y z + + = = = = 1, 0, 0, 0 围成的位于第 一卦限的有界区域； (5) 2 3 , V xy z dxdydz  V 由曲面 z xy y x z x = = = = , , 0, 1 所围成； (6) cos( ) , V y x z dxdydz +  V 是由 y x y z = = = , 0, 0 及 2 x z  + = 所围成的区 域． §3. 积分在物理上的应用 1． 求下列均匀密度的平面薄板的质心： (1) 半椭圆 2 2 2 2 1, 0 x y y a b +   ； (2) 高为 h ，底分别为 a 和 b 的等腰梯形； (3) r a = +   (1 cos )(0 )    所界的薄板； (4) 2 ay x x y a a = + =  , 2 ( 0) 所界的薄板． 2． 求下列密度均匀的物体的质心： (1) 2 2 z x y z  − −  1 , 0 ； (2) 由坐标面及平面 x y z + − = 2 1 所围成的四面体； (3) 2 2 z x y x y a x y z = + + = = = = , , 0, 0, 0 围成的立体；