第二十一章曲线积分和曲面积分的计算 §1.第一类曲线积分的计算 1.计算下列第一型曲线积分 (1)「(x2+y2)d,其中L是以(0,0,(2,0),(0,1)为项点的三角形 「、√2+y,其中L是圆周x2+y2=ag (3)[xzs,其中L为螺线x= a cost,y= asin t,=b(0<a<b)0≤1≤2z (4)「(x2+y2+2)d,其中L与(3)相同: J(x2+y5)d,其中L为内摆线x5+y2=a (Jya,其中L为摆线的一拱x=a(-sin)y=-s0s1≤2r (7)[xzs,其中L为球面x2+y2+=2=a2与平面x+y+z=0的交线: (8)(x+y+x)ds,其中L同(7 9Jd,其中L是曲线x=1y=5、21,=(051) (0J√2y2+2b,其中L是x2+y2+2=a与x=y相交的圆周 2.设曲线L的方程为 x=e'cost,y=e'sin,z=e(0≤t≤l0), 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比,且在点(10,1)处为1,求它的质量 3.若曲线以极坐标给出:P=pO(≤0≤B),试给出计算∫f(xy)的公式 并用此公式计算下列曲线积分: ∫c”d,其中L是曲线P=(050≤元 (2)[xds,其中L是对数螺线p=ae(k>0)在圆r=a内的部分 h 4.求螺线的一支L:x=acos,y= asin,=2n4(0≤t≤2n)对x轴的转动惯量 =,(y2+二2)d.设此螺线的线密度是均匀的 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算 §1. 第一类曲线积分的计算 1． 计算下列第一型曲线积分： (1) 2 2 ( ) L x y ds + ，其中 L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) 2 2 L x y ds + ，其中 L 是圆周 2 2 x y ax + = ； (3) L xyzds ，其中 L 为螺线 x a t y a t = = cos , sin , (0 ),0 2 z bt a b t = ； (4) 2 2 2 ( ) L x y z ds + + ，其中 L 与(3)相同； (5) 4 4 3 3 ( ) L x y ds + ，其中 L 为内摆线 2 2 2 3 3 3 x y a + = ； (6) 2 L y ds ，其中 L 为摆线的一拱 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ),0 2 ； (7) L xyds ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与平面 x y z + + = 0 的交线； (8) ( ) L xy yz zx ds + + ，其中 L 同(7)； (9) L xyzds ，其中 L 是曲线 2 1 3 2 , 2 , (0 1) 3 2 x t y t z t t = = = ； (10) 2 2 2 L y z ds + ，其中 L 是 2 2 2 2 x y z a + + = 与 x y = 相交的圆周． 2． 设曲线 L 的方程为 cos , sin , t t t x e t y e t z e = = = 0 (0 ) t t ， 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为 1，求它的质量． 3． 若曲线以极坐标给出： = ( ) 1 2 ( ) ，试给出计算 ( , ) L f x y ds 的公式， 并用此公式计算下列曲线积分： (1) 2 2 x y L e ds + ，其中 L 是曲线 (0 ) 4 a = ； (2) L xds ，其中 L 是对数螺线 ( 0) k ae k = 在圆 r a = 内的部分． 4． 求螺线的一支 L ： cos , sin , (0 2 ) 2 h x a t y a t z t t = = = 对 x 轴的转动惯量 2 2 ( ) L I y z ds = + ．设此螺线的线密度是均匀的．
求抛物面壳x=;(x2+y),0≤51的质量,设此壳的密度p=2 §2.第一类曲面积分的计算 1.计算下列第一型曲面积分 ()』(x+y2)s,其S是立体x+y2s=51的边界曲面 ,其中S为柱面x2+y2=R2被平面z=0和z=H所截取的部分 (3)1xyS,其中S为曲面二=x2+y被二=1割下的部分 (4)J=2s,.其中S为螺旋面的一部分: x=cosv,y= uSIng,==v(0≤u≤a,0≤v≤2丌); )J(x2+y2)ds,s是球面x2+y2+2=R 2.计算F(1)=f(x,y,z)dS,其中S是一平面x+y+z=t,而 f(x,y, =) -x2-y2-2,当x2+y2+z2≤1, §3.第二类曲线积分 1.计算下列第二型曲线积分 (1)[(2a-y)d+dy,其中L为摆线x=a(-sinn,y=a(1-cos1)(0≤t≤2x)沿t 增加的方向 2/~xdk+ybd,其中L为圆周x2+y2=a2依逆时针方向: (3)Jxd+y+d,其中L为从(1,1)到(2,34)的直线段 (4)[(x2-2)+(y2-2),L为y=x2从(1,1)到(-1) (Jy-xdb+(x2+y2)h,L为曲线x=e,y=e,=1从(1.)0到e,a) 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 5． 求抛物面壳 1 2 2 ( ) 2 z x y = + ，0 1 z 的质量．设此壳的密度 = z ． §2. 第一类曲面积分的计算 1． 计算下列第一型曲面积分： (1) 2 2 ( ) S x y dS + ，其中 S 是立体 2 2 x y z + 1 的边界曲面； (2) 2 2 S dS x y + ，其中 S 为柱面 2 2 2 x y R + = 被平面 z = 0 和 z H= 所截取的部分； (3) 3 2 | | S x y z dS ，其中 S 为曲面 2 2 z x y = + 被 z =1 割下的部分； (4) 2 S z dS ，其中 S 为螺旋面的一部分： x u v y u v z v = = = cos , sin , (0 ,0 2 ) u a v ； (5) 2 2 ( ) S x y dS + ， S 是球面 2 2 2 2 x y z R + + = ． 2． 计算 ( ) ( , , ) S F t f x y z dS = ，其中 S 是一平面 x y z t + + = ，而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1, ( , , ) 0, 1. x y z x y z f x y z x y z − − − + + = + + 当 当 . §3. 第二类曲线积分 1． 计算下列第二型曲线积分： (1) (2 ) L a y dx dy − + ，其中 L 为摆线 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ),(0 2 ) 沿 t 增加的方向； (2) 2 2 L xdx ydy ds x y − + + ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a + = 依逆时针方向； (3) L xdx ydy zdz + + ，其中 L 为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) L x xy dx y xy dy − + − ， L 为 2 y x = 从(1,1)到(-1,1)； (5) 2 2 ( ) L ydx xdy x y dz − + + ， L 为曲线 , , t t x e y e z at − = = = 从(1,1,0)到 1 ( , , ) e e a − ；
6∫(x+y2)+(x2-y2),L为以4L.O,B(20.C(2),D(L为顶点的正方 形沿逆时针方向 计算曲线积分 ∫(02-=2)t+(=2-x)+(x2-y)d (1)L为球面三角形x2+y2+2=1,x≥0,y≥0,x≥0的边界线,从球的外测看去, L的方向为逆时针方向 (2)L是球面x2+y2+2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oxy平面上方 的部分,从x轴上(b,0,0)(b>a)点看去,L是顺时针方向 3.求闭曲线L上的第二型曲线积分 ydx-xdy (1)L为圆x2+y2=a2,逆时针方向 (2)L为椭圆+2=1,顺时针方向; (3)L为以(0,0)为中心,边长为a,对边平行于坐标轴的正方形,顺时针方向 (4)L是以(-1-1),(1,-1),(0,1)为顶点的三角形,顺时针方向 4.求力场F对运动的单位质点所作的功,此质点沿曲线L从A点运动到B点 (1)F=(x-2xy2,y-2xy),L为平面曲线y=x2,A(0,0),B(1,1); (2)F=(x+y,xy),L为平面曲线y=1-|1-x|,A(0,0),B(2,0 (3)F=(x-y,y-x,x-x),L的矢量形式为r()=1i+t2j+tk,AO,0,0),B(1,11); (4)F=(y2,z2,x2),L的参数式为x= a cos t,y=Bsin,z=t(a,B,y为正数), A(a,0,0),B(a,0,2my) 5.设P,Q,R在L上连续,L为光滑弧段,弧长为l,证明: Pax+Qdy+Rdk≤M. 其中M=max{√P2+g2+R2 6.设光滑闭曲线L在光滑曲面S上,S的方程为=f(x,y),曲线L在Oxy平面上 的投影曲线为l,函数P(x,y,z)在L上连续,证明 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 (6) 2 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + + − ， L 为以 A B C D (1,0), (2,0), (2,1), (1,1) 为顶点的正方 形沿逆时针方向． 2． 计算曲线积分 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L y z dx z x dy x y dz − + − + − ． (1) L 为球面三角形 2 2 2 x y z + + =1， x y z 0, 0, 0 的边界线，从球的外测看去， L 的方向为逆时针方向； (2) L 是球面 2 2 2 2 x y z a + + = 和柱面 2 2 x y ax + = ( 0) a 的交线位于 Oxy 平面上方 的部分，从 x 轴上 ( ,0,0) b ( ) b a 点看去， L 是顺时针方向． 3． 求闭曲线 L 上的第二型曲线积分 2 2 L ydx xdy x y − + ， (1) L 为圆 2 2 2 x y a + = ，逆时针方向； (2) L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，顺时针方向； (3) L 为以(0,0)为中心，边长为 a ，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向； (4) L 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向． 4． 求力场 F 对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线 L 从 A 点运动到 B 点： (1) 2 2 F x xy y x y = − − ( 2 , 2 ) ， L 为平面曲线 2 y x = ， A B (0,0), (1,1) ； (2) F x y xy = + ( , ) ， L 为平面曲线 y x = − − 1 |1 |， A B (0,0), (2,0) ； (3) F x y y z z x = − − − ( , , ) ，L 的矢量形式为 2 3 r t ti t j t k ( ) = + + ，A B (0,0,0), (1,1,1) ； (4) 2 2 2 F y z x = ( , , ) ， L 的参数式为 x t y t z t = = = cos , sin , （ , , 为正数）， A B ( ,0,0), ( ,0,2 ) ． 5． 设 P Q R , , 在 L 上连续， L 为光滑弧段，弧长为 l ，证明： | | L Pdx Qdy Rdz Ml + + ． 其中 2 2 2 ( , , ) max x y z L M P Q R = + + ． 6． 设光滑闭曲线 L 在光滑曲面 S 上， S 的方程为 z f x y = ( , ) ，曲线 L 在 Oxy 平面上 的投影曲线为 l ，函数 P x y z ( , , ) 在 L 上连续，证明：
P(x,y,=dx=L P(x,,f(x,y)dx 7.计算/=x,其中L:x2+y2+2=1与y==相交的圆,其方向按曲线依次 经过1,2,7,8卦限 §4.第二类曲面积分 1.计算下列第二型曲面积分 ()Jyx-0+xad+(y2+x-)dody,其中S为x=y=0,x=y==a 六个平面所围的正立方体的外测 (2)(x+y)d+(y+)zx+(2+x)ddb,其中S是以原点为中心,边长为2的 正立方体表面的外测 (3)‖y=dx,S为x+12+-2=1的上半部分的上测 (4)|ad+xd+ydx,S为柱面x2+y2=1被平面二=0及z=3所截部分的 外测; 5)|xa+ydax+xzxb,S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四 面体表面的外测: (6)Jx+ya+=dh,S为球面x2+y2+=2=a的外测 (x+yddx+2dod,S是球面(x-a)2+(y-b)2+(=-c)=R2的外测 2.设某流体的流速为v=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过 球面的流量 3.设流体的流速为v=(xy3,0,z3x),求穿过柱面x2+y2=a2(-h≤z≤h)外测的流 量 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 ( , , ) ( , , ( , )) L l P x y z dx P x y f x y dx = ． 7． 计算 L I xyzdz = ，其中 L ： 2 2 2 x y z + + =1 与 y z = 相交的圆，其方向按曲线依次 经过 1,2,7,8 卦限． §4. 第二类曲面积分 1． 计算下列第二型曲面积分： (1) 2 2 ( ) ( ) S y x z dydz x dzdx y xz dxdy − + + + ，其中 S 为 x y z = = = 0，x y z a = = = 六个平面所围的正立方体的外测； (2) ( ) ( ) ( ) S x y dydz y z dzdx z x dxdy + + + + + ，其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的 正立方体表面的外测； (3) S yzdzdx ， S 为 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 的上半部分的上测； (4) S zdxdy xdydz ydzdx + + ， S 为柱面 2 2 x y + =1 被平面 z = 0 及 z = 3 所截部分的 外测； (5) S xydydz yzdzdx xzdxdy + + ， S 是由平面 x y z = = = 0 和 x y z + + =1 所围的四 面体表面的外测； (6) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + + ， S 为球面 2 2 2 2 x y z a + + = 的外测； (7) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，S 是球面 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = 的外测． 2． 设某流体的流速为 v k y = ( , ,0) ，求单位时间内从球面 2 2 2 x y z + + = 4 的内部流过 球面的流量． 3． 设流体的流速为 5 5 ( ,0, )x v xy z x = ，求穿过柱面 2 2 2 x y a h z h + = − ( ) 外测的流 量．